Dystrybuanta z funkcji gęstości do sprawdzenia

Procesy stochastyczne. Sposoby racjonalizowania wielkich ilości informacji. Matematyka w naukach społecznych.
Gusti
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 28 lis 2010, o 17:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Dystrybuanta z funkcji gęstości do sprawdzenia

Post autor: Gusti »

Witam
Niedługo mam kolokwium więc czas brać się do roboty, niestety nie byłem na wszystkich zajęciach więc do większości rzeczy sam muszę dojść
Na początek prosiłbym o sprawdzenie zadania o następującej treści
Dana jest funkcja gęstości zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ dla \ x<1 \\ \frac{1}{4}x- \frac{1}{8} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ dla \ 1 \le x \le 3 \\\frac{1}{4} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ dla \ 3<x<3,5\\ \frac{1}{8}x- \frac{1}{8} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ dla \ 3,5 \le x \le 8,5\\ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ dla \ x>8,5 \end{cases}}\)
Wyznacz dystrybuantę, kwartyl pierwszy i trzeci , decyl dziewiąty oraz prawdopodobieństwa że,

\(\displaystyle{ P(X<3,55) , P(2<X \le, P(-8,5<X<1,5)}\)

A więc najpierw dystrybuanta
\(\displaystyle{ \begin{cases} 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ dla \ x<1 \\ \int_{1}^{x} \frac{1}{8}x- \frac{1}{8}dx= \frac{1}{16}(x-1) ^{2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ dla \ 1 \le x \le 3 \\ \int_{3}^{x} \frac{1}{4}dx= \frac{x-3}{4} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ dla \ 3<x<3,5 \\ \int_{3,5}^{x} \frac{1}{8} dx=0,125x-0,4375 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ dla \ 3,5 \le x \le 8,5 \end{cases}}\)
teraz kwartyle i decyl
kwartyl pierwszy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{16}(x-1) ^{2}=0,25 \Rightarrow x=3}\) czyli kwartyl pierwszy równa się \(\displaystyle{ 3}\)

kwartyl 3
\(\displaystyle{ 0,375}\) (dodałem tutaj wartości dystrybuanty dla poprzednich przedziałów po podstawieniu ich krańcowych wartości czyli \(\displaystyle{ 3}\) i \(\displaystyle{ 3,5)+0,125x-0,4375=0,75 \Rightarrow x= 6,5 \Leftarrow}\) kwartyl 3
decyl 9
\(\displaystyle{ 0,375+0,125x-0,4375=0,9\Rightarrow x=7,7}\)

Teraz czas na prawdopodobieństwa

\(\displaystyle{ P(X<3,55) = 0,375+0,125 \cdot 3,55-0,4375= 0,38125}\) ( podstawiłem wartość \(\displaystyle{ 3,55}\) we wzorze dystrybuanty w opowiedniego przedziału dodając te \(\displaystyle{ 2}\) które były wcześniej po podstwieniu wartości skrajnych)
\(\displaystyle{ P(2<X\le 8 = P(x\le 8)-P(x<2)= 0,375+0,125 \cdot 8-0,4375- \frac{1}{16}(2-1)^{2}= \\ = \frac{15}{16}-\frac{1}{16}=\frac{14}{16} \\
P(-8,5<X<1,5)= P(1,5)=\frac{1}{16}(1,5-1)^{2}=\frac{1}{64}}\)

Pozdrawiam
Ostatnio zmieniony 25 maja 2012, o 22:33 przez loitzl9006, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Symbol mnożenia to \cdot, odstęp to \.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7906
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Dystrybuanta z funkcji gęstości do sprawdzenia

Post autor: janusz47 »

Uzupełnij i popraw przedziały określoności dystrybuanty, pamietając, że jest ona funkcją lewostronnie ciągłą.
Gusti
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 28 lis 2010, o 17:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Dystrybuanta z funkcji gęstości do sprawdzenia

Post autor: Gusti »

Czyli że dodatkowo będzie dla x>8,5 równać się 1 ?
A tak poza tym to wszystko dobrze ?
PS. Dziękuję moderatorowi za poprawienie postu i przepraszam za błędy ale to dopiero moje poczatki tutaj
ODPOWIEDZ