metoda największej wiarygonosci - rozkład geometryczny

[fuqs]

Wyznaczyc estymator największej wiarygodności parametru \(\displaystyle{ p}\) w rozkładzie geometrycznym, mając do dyspozycji próbkę prostą \(\displaystyle{ k _{1},...,k _{n}}\)


pochodna funkcji wiarygodności mi wychodzi:

\(\displaystyle{ \frac{dl}{dp} = \frac{n}{p} - ( \sum_{k=1}^{n}k - n) \frac{1}{1-p} = 0}\)

czy to jest dobry wynik i jak wyznaczyć z tego p...

[Jacek_Karwatka]

Wzór ok.

Funkcja wiarygodności:

\(\displaystyle{ w= \prod_{i=1}^{i=n}\left( 1-p\right) ^{k _{i}-1 }p}\)

logarytm funkcji wiarygodności:

\(\displaystyle{ l = \log(w)= \sum_{i=1}^{i=n} \log(\left( 1-p\right) ^{k _{i}-1 }) + \sum_{i=1}^{i=n}\log(p)=\sum_{i=1}^{i=n} (k _{i}-1 )\log(1-p)+ \sum_{i=1}^{i=n}\log(p)=\log(1-p) \sum_{i=1}^{i=n} (k _{i}-1 )+ n \log(p)}\)

pochodna:

\(\displaystyle{ \frac{dl}{dp}= -\frac{1}{1-p} \sum_{i=1}^{i=n} (k _{i}-1 )+ \frac{1}{p} n =0}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{p} n = \frac{1}{1-p} \sum_{i=1}^{i=n} (k _{i}-1 )}\)

\(\displaystyle{ n(1-p) = p \sum_{i=1}^{i=n} (k _{i}-1 )}\)

\(\displaystyle{ n(1-p) = p (\sum_{i=1}^{i=n} k _{i} - n)}\)

\(\displaystyle{ n-np = p \sum_{i=1}^{i=n} k _{i} - np}\)

\(\displaystyle{ n = p \sum_{i=1}^{i=n} k _{i}}\)

\(\displaystyle{ p= \frac{n}{\sum_{i=1}^{i=n} k _{i}}}\)

[fuqs]

dziekuje serdecznie

[theblacktruffle]

Zmianna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład geometryczny z parametrem \(\displaystyle{ p}\) jeżeli jego rozkład prawdopodobieństwa można zapisać wzorem: \(\displaystyle{ P(X=k) = p\cdot (1-p)^{k}}\). Dlaczego do wyznaczenia Estymatora Największej Wiarogodności (Wiarygodności) parametru z geometrycznego rozkładu prawdopodobieństwa użyty został wzór \(\displaystyle{ P(X=k) = p\cdot (1-p)^{k-1}}\)

[yorgin]

Zmianna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład geometryczny z parametrem \(\displaystyle{ p}\) jeżeli jego rozkład prawdopodobieństwa można zapisać wzorem: \(\displaystyle{ P(X=k) = p\cdot (1-p)^{k}}\).

Jesteś pewna, że taki jest wzór? Sprawdź w źródle/książce/internecie.

[theblacktruffle]

Sprawdziłam w dostępnych mi tablicach oraz przekształciłam rozkład ujemny dwumianowy na geometryczny. Cały czas wychodzi to samo. Posługuję się tablicami jednego z profesorów. Mogę wstawić link.
Wikipedia twierdzi, że jest \(\displaystyle{ k-1}\)

Okej. W internecie są dwa wzory. Różnią się zapisem funkcji rozkładu prawdopodobieństwa oraz wartością oczekiwaną.

Dziękuję