Rekurencja Panjer'a

[lukaszdm]

Mam udowodnić wzór na wartość oczekiwaną rekurencji Panjera. Sprawa wygląda prosto ale nie mogę dojść do pożądanego wyniku. A siedzę nad tym już zdecydowanie za długo.

\(\displaystyle{ E[N]= \frac{(a+b) }{(1-a)}}\) pożądany wynik

Używam wzoru na wartość oczekiwaną czyli do operatora sumy wstawiam \(\displaystyle{ n \cdot q}\) i później za \(\displaystyle{ q}\) podstawiam wzor rekurencyjny podany poniżej

\(\displaystyle{ q _{n}=(a+ \frac{b}{n} ) \cdot q _{n-1}}\)

\(\displaystyle{ \sum_{0}^{inf}(n \cdot q_{n})=\sum_{0}^{inf}n \cdot \frac{(a+b) }{(1-a)} \cdot q_{n-1}}\)