Witam,
Musze udowodnić pewien lemat i bardzo Was proszę o pomoc czy dobrze jest on zrobiony.
\(\displaystyle{ Lemat:
Niech $f_1, f_2$ będą funkcjami stopu w $L_\omega^2[\alpha,\beta]$ i niech $\gamma_1 \ i \ \gamma_2 \in \mathbb{R}$. Wtedy $\gamma_1f_1+\gamma_2f_2 \in L_\omega^2[\alpha,\beta]$ oraz
\begin{equation}
\int\limits_{\alpha}^{\beta}[\gamma_1f_1(t)+\gamma_2f_2(t)]dB(t)=\gamma_1\int\limits_{\alpha}^{\beta} f_1(t)dB(t)+\gamma_2\int\limits_{\alpha}^{\beta} f_2(t)dB(t).
\end{equation}}\)
\(\displaystyle{ Przez $L_\omega^p[\alpha,\beta] \ (1\leq p \leq\infty)$ oznaczamy klasę wszystkich adoptowalnych funkcji $f(t)$, spełniających warunki:
\[
P \left\{
\int\limits_{\alpha}^{\beta} |f(t)|^pdt < \infty
\right\} =1,
\]
\[
P \left (
ess\sup_{\alpha \le t \le \beta} |f(t)| < \infty
\right )
= P \left (
\inf_{\alpha \leq t \leq \beta}(a \in \mathbb{R}: \mu (t: f(t) >a)=0) < \infty
\right )
=1, \ gdy \ p= \infty .
\]}\)-- 1 maja 2012, o 15:06 --A dowód wygląda nastepująco :
\(\displaystyle{ Dowod :
Korzystając \ z \ liniowości \ sumy \ otrzymujemy \ równanie
\
\[
\int\limits_{\alpha}^{\beta}[\gamma_1 f_1(t) + \gamma_2 f_2(t)]dB(t) =
\]
\[
\int\limits_{\alpha}^{\beta} \gamma_1 f_1(t)dB(t) +\int\limits_{\alpha}^{\beta} \gamma_2 f_2(t) dB(t)=
\]
\[
=\gamma_1 \int\limits_{\alpha}^{\beta} f_1(t)dB(t)+\gamma_2\int\limits_{\alpha}^{\beta} f_2(t)dB(t).
\end{align*}
\]}\)