Dystrybuanta dwuwymiarowej zmiennej losowej

[zenek8]

Mam takie pytanie. Moja gęstość to:


\(\displaystyle{ f(x,y)= \begin{cases} 4xy \ dla \ 0 \le x, y \le 1 \\ 0 \ dla \ pozostalych \end{cases}}\)

I teraz mam wyznaczyć dystrybuantę \(\displaystyle{ F(x,y)}\).
Wiem że musze całkować. Tylko teraz jakie maja byc przedziały?

Napisze jak myślę, proszę tylko pomóc mi czy myślę dobrze a jeśli nie to jak to należy robić.

1)dla \(\displaystyle{ 0 \le x,y \le 1}\) bedzie \(\displaystyle{ F(x,y)= \int_{- \infty }^{x} \int_{- \infty }^{y} 4uvdudv}\)

2) dla \(\displaystyle{ x,y<0}\) i dla \(\displaystyle{ x,y>1}\) bedzie \(\displaystyle{ F(x,y)=0}\)

3) dla \(\displaystyle{ 0 \le x \le 1}\) i \(\displaystyle{ y<0}\) bedzie \(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{x}}\)... no nie mam pojęcia... pomocy..

[janusz47]

\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}f(x,y) dxdy = 4 \int_{0}^{1}xdx \int_{0}^{1}ydy=1}\)

a) \(\displaystyle{ x \le 0 \vee y \le 0}\)
\(\displaystyle{ F(x,y) = 0}\)
b) \(\displaystyle{ 0< x \le 1, \wedge 0 < y \le 1}\)
\(\displaystyle{ F(x,y) = \int_{0}^{x}4tdt \int_{0}^{y}udu = x^2y^2}\)
Podobnie:
c) \(\displaystyle{ 0< x \le 1 \wedge y > 1}\)
\(\displaystyle{ F(x,y) = x^2}\)
d) \(\displaystyle{ x >1 \wedge 0 < y \le 1}\)
\(\displaystyle{ F(x,y) = y^2}\)
e) \(\displaystyle{ x>1 \wedge y>1}\)
\(\displaystyle{ F(x,y) = 1}\)

[zenek8]

aj nawet nie zauwazyłem, że juz jest odpowiedź. dzieki wielkie. a czy byłbyś w stanie to jakoś wytłumaczyć tak po chłopsku? jak to te przedziały się wybiera i skąd mam wiedziec co dawać w granicy? i jaką funkcje całkować?

[janusz47]

b) \(\displaystyle{ F(x,y) = \int_{0}^{x}4tdt \int_{0}^{1}udy = 4 \frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{2}= x^2,}\)
c) \(\displaystyle{ F(x,y) = \int_{0}^{1} 4tdt \int_{0}^{y}udy = 4\cdot \frac{y^2}{2}\cdot \frac{1}{2} = y^2,}\)
d) \(\displaystyle{ F(x,y) = \int_{0}^{1}4tdy \int_{0}^{1}udu =4\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=1,}\)
bo
\(\displaystyle{ F(x,y) = \int_{-\infty}^{x}dt \int_{-\infty}^{y}f(t,u)du.}\)

[zenek8]

Dzieki