Estymator nieobciążony

[Lolek271]

Cześć

Mam oto takie zadanie: Mam dwie niezależne obserwacje \(\displaystyle{ X _{1}=N(a,b ^{2})}\) i \(\displaystyle{ X _{2}=N(2a,2b ^{2})}\). Niech \(\displaystyle{ S ^{2}=a*(X _{1} -X _{2}) ^{2}+b*(X _{1} +X _{2}) ^{2}}\). Dobrać taka a i b, żeby \(\displaystyle{ S ^{2}}\) był nieobciążonym estymatorem \(\displaystyle{ b ^{2}}\)

To co udało mi się ustalić:
\(\displaystyle{ X _{1} -X _{2}=N(3a,-b ^{2} )}\)
\(\displaystyle{ X _{1} +X _{2}=N(3a,3b ^{2})}\)
\(\displaystyle{ \frac{S ^{2} }{b ^{2} }=}\)rozkład chi-kwadrat z jednym stopniem swobody

Jak dalej to ugryźć?

[miodzio1988]

Dalej z definicji. Co to znaczy, że estymator jest nieobciazony?

[Lolek271]

Nieobciążony jeżeli \(\displaystyle{ E(S ^{2})=b ^{2}}\)

Przepraszam, powinno być:
\(\displaystyle{ X _{1} -X _{2}=N(-c,3d ^{2} )}\)
\(\displaystyle{ X _{1} +X _{2}=N(3c,3d ^{2})}\) Zmieniłem na c i d, żeby z a się nie pomyliło/.

Mamy \(\displaystyle{ E(S ^{2})=E(a*(X _{1} -X _{2}) ^{2}+b*(X _{1} +X _{2}) ^{2}))=aE(X _{1} -X _{2}) ^{2}+bE(X _{1} +X _{2}) ^{2}=}\)

Dalej \(\displaystyle{ E(X) ^{2}=VarX+(EX)^{2}}\) z tego wynika, że mamy

\(\displaystyle{ E(S ^{2})=a*(3d^{2}+c^{2})+b*(3d^{2}+9c^2)=d^{2}}\)

Dobra chyba dalej już łatwo, ale jeżeli ktoś jeszcze będzie zainteresowany, wrzucam odp: a=3/8, b=-1/24

Pozdrawiam