Proces Poissona

[kasia_torun]

Dla procesu Poissona N(t) o intensywności \(\displaystyle{ \lambda}\).
Dla \(\displaystyle{ s \le t}\) obliczyć:
a) \(\displaystyle{ P(N(s)=k | N(t)=n)}\)
b) \(\displaystyle{ P(N(t)=n | N(s)=k)}\)
i nazwać poszczególne rozkłady.

[janusz47]

a)\(\displaystyle{ P(N(s)=k | N(t) = n) = \frac{P(N(s)=k, N(t) = n)}{ P(N(t) = n)} =\frac{\frac{e^{-\lambda(n+k)}\lambda s^{k}t^{n}}{(k+n)!}}{ \frac{e^{-\lambda n} \lambda t^{n}}{n!}} }.}\)
Proszę uprościć.
Jest to rozkład warunkowy procesu Poissona.
b) - podobnie

[kasia_torun]

Dlaczego tak akurat wygląda licznik?
Chyba brakuje potęgi przy \(\displaystyle{ \lambda}\)...