Transformacja zmiennej losowej X przez sinus

[selene15]

Witam! Mam problem z dokończeniem zadania. Może najpierw jego treść:

Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na przedziale \(\displaystyle{ ( \frac{-67 \pi }{2} \,\frac{67\pi}{2})}\) . Określ rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y= sin(X). Narysuj wykres funkcji gęstości rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y.



Zaczynam. Wyliczam rozkład zmiennej x:
\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} \frac{1}{b-a}= \frac{2}{67 \pi -(-67 \pi )}= \frac{1}{67 \pi} \hbox { dla } x \in\left\ ( \frac{-67 \pi }{2} , \frac{67 \pi }{2} )\\0, \hbox { dla pozostałych x}\end{cases}}\)

Otóż próbowałam to zadanie rozwiązać najpierw dla jednego okresu. Dzielę więc moja funkcję sinus na dwa przedziały, w których funkcja jest ściśle monotoniczna. Pierwszy, gdzie funkcja jest rosnąca: \(\displaystyle{ (- \frac{1}{2} \pi , \frac{1}{2} \pi)}\) i drugi, gdzie funkcja jest malejąca: \(\displaystyle{ ( \frac{1}{2} \pi , \frac{3}{2} \pi )}\).

Dalej, szukam funkcji odwrotnej do x=siny, i jest to dla przedziału 1. x=arcsiny oraz pochodna tej funkcji \(\displaystyle{ x'= \frac{1}{ \sqrt{1-y^{2}} }}\).

Dla przedziału 2 zauważam, że y=sinx przyjmuje takie same wartości jak y=-sinx dla pierwszego przedziału, stąd x=arcsin(-y), i \(\displaystyle{ x'=- \frac{1}{ \sqrt{1-y^{2}} }}\).

I w tym momencie się zawieszam. Znalazłam taki wzór:
\(\displaystyle{ k(y)=\begin{cases} \sum_{i-1}^{}f[h _{i} (y)] * \left| h_{i} ' \right| \hbox {dla } c \le y \le d \\ 0, \hbox { dla pozostałych y} \end{cases}}\)

Wnioskuję, że moja funkcja będzie wyglądać tak dla jednego okresu:
\(\displaystyle{ k(y)=\begin{cases} \frac{1}{67 \pi}*(\frac{1}{ \sqrt{1-y^{2}}}+\frac{1}{ \sqrt{1-y^{2}}}) \hbox {dla } -1 \le y \le 1\\ 0, \hbox { dla pozostałych y} \end{cases}}\)

Teraz pytanie-czy moje rozwiązanie jest poprawne? i jeżeli tak, to jak rozwinąć je na wszystkie okresy mojego rozwiązania?

Z góry dziękuję za pomoc

[miodzio1988]

Scałkuj swoje rozwiązanie na przedziale\(\displaystyle{ (-1,1)}\). Wychodzi jedynka?

[selene15]

Nie, nie wychodzi, uch. Gdzie tkwi ew. błąd? Za długo już na to "paczę", żeby sama go znaleźć

[miodzio1988]

Nie lepiej to zrobić od razu za pomocą dystrybuanty?

[selene15]

Mógłbyś rozwinąć myśl? Ja to zadanie próbowałam zrobić na tzw. małpkę, to podobnego już rozwiązanego, ale coś mi nie bangla