gra polegająca na rzuceniu monetami

[Weronikaa90]

Zorganizowano grę polegającą na rzuceniu czterema symetrycznymi monetami. Jeżeli wyrzucimy dokładnie cztery orły wygrywamy 200 zł, wyrzucimy dokładnie trzy orły wygrywamy 60 zł, w pozostałych przypadkach przegrywamy stawkę.
A. Jaka powinna być stawka, aby gra była sprawiedliwa ?
B. Ile wynosi wariancja, klasyczny współczynnik zmienności i obszar typowy ?
C. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że trzecią z kolei wygraną (obojętnie jaką) otrzymamy w piątym rzucie ?

[szw1710]

Gra sprawiedliwa - wartość oczekiwana wygranej musi wynosić zero. Opisz więc funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej będącej wygraną w tej grze. Jedną z wartości tej zmiennej jest nasza stawka.

Reszta to zwykłe obliczenia, a wzory znajdziesz w notatkach z wykładu, w Internecie, a kto wie czy nie także w Kompendium statystyki na tym Forum.

[Weronikaa90]

gra sprawiedliwa \(\displaystyle{ E(x)=0}\)

4-wyrazowe wariancje z powtórzeniami zbioru {o,r}

\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}= \omega^{4}_{2}= 2^{4}=16}\)

A-wypadną dokładnie cztery orły
A={(o,o,o,o)}
\(\displaystyle{ \overline{\overline{A}}=1}\)
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{\overline{\overline{A}}}{\overline{\overline{\Omega}}} = \frac{1}{16}}\)

B-wypadną dokładnie trzy orły
B={(o,o,o,r);(o,o,r,o);(o,r,o,o);(r,o,o,o)}
\(\displaystyle{ \overline{\overline{B}}=4}\)
\(\displaystyle{ P(B)= \frac{\overline{\overline{B}}}{\overline{\overline{\Omega}}} = \frac{1}{4}}\)

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
xi & 200 & 60 \\
pi & 1/16 & 1/4 \\ \hline
\end{tabular}}\) dobrze ?

a pozostałe przypadki kiedy przygrywa stawkę, mam opisać tak?
\(\displaystyle{ P(A')=1-P(A)= \frac{15}{16}}\)
\(\displaystyle{ P(B')=1-P(B)= \frac{3}{4}}\)

proszę o wyjaśnienie bo nie wiem czy dobrze rozwiązuję

[szw1710]

Pozostałe przypadki zachodzą z prawdopodobieństwem... Wygraną (przegraną) w tych pozostałych przypadkach jakoś oznacz, np. \(\displaystyle{ p}\). Mamy więc \(\displaystyle{ x_3=p}\) z prawdopodobieństwem...

[Weronikaa90]

czy tabelka jest dobrze rozpisana? czy powinnam jeszcze coś w niej zawrzeć ?

[szw1710]

Powyżej napisałem, że niedobrze.

[Weronikaa90]

a czy mogę Cię poprosić abyś rozpisał tabelkę ?

[szw1710]

Musisz dopisać jeszcze jedną kolumnę. Nie dam gotowca, bo w ten sposób bardziej rzecz zrozumiesz. Wczytaj się w to, co napisałem w poprzednich postach.

[Weronikaa90]

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline xi & 200 & 60 & -200 \\ pi & 1/16 & 1/4 & 27/16 \\ \hline \end{tabular}}\) dobrze ?

[szw1710]

Niestety nie. Czy prawdopodobieństwo może być większe niż jeden?

[Weronikaa90]

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline xi & 200 & 60 & -200 \\ pi & 1/16 & 1/4 & 11/16 \\ \hline \end{tabular}}\)
x3-pozostałe przypadki kiedy przegrywamy stawkę
x3=1-(P(A)+P(B))=11/16

[szw1710]

Prawdopodobieństwa OK. Ale stawka nie. Jaka tu jest wartość oczekiwana? Pisałem ze dwa razy: oznacz sobie jakoś tę przegraną. Nie zgaduj. Zgadywanie programowane - niewiadoma i równanie

[Weronikaa90]

stawka = 0 ?

[szw1710]

Zamiast \(\displaystyle{ -200}\) wpisz niewiadomą \(\displaystyle{ p}\) i policz \(\displaystyle{ EX.}\)

[Weronikaa90]

\(\displaystyle{ E(X)=28,1875p}\)