wartość oczekiwana wariancji z próby

[unideal]

Niech \(\displaystyle{ X _{1}}\),..., \(\displaystyle{ X _{n}}\) będzie próbą losową prostą. Obliczyć wartość oczekiwaną wariancji z próby:
E( \(\displaystyle{ \frac{1}{n} \sum_{i}^{n} (X _{i} - X) ^{2}}\)) .
gdzie X - średnia z próby.

Próbowałam ze wzorów skróconego mnożenia, później podstawiałam X= \(\displaystyle{ \frac{X _{1}+...X _{n} }{n}}\), liczyłam to wiele razy i nadal to co jest przy wartości oczekiwanej iloczynów \(\displaystyle{ X _{i}*X _{j}}\) dla \(\displaystyle{ i \neq j}\) mi się skraca, a przy w.oczekiwanej \(\displaystyle{ X _{i} ^{2}}\) dla każdego i zostaje ciągle współczynnik \(\displaystyle{ \frac{n-1}{n ^{2} }}\).
Nie wiem co dalej... czy w ogóle dobrze zaczynam?

[szw1710]

Jeśli masz mieć wariancję z próby, to czy nie powinno być

\(\displaystyle{ E\left(\frac{1}{n} \sum_{i}^{n} (X _{i} - EX) ^{2}\right)?}\)

Mielibyśmy więc

\(\displaystyle{ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^nE\left((X_i-EX)^2\right)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nD^2X_i}\)

Skorzystaj z własności wariancji. Np. typu \(\displaystyle{ D^2(X+Y)=D^2X+D^2Y+2\text{cov}(X,Y)}\)

[unideal]

W treści zadania jest X z kreską u góry, czyli średnia arytmetyczna z próby. Ale chyba mogę skorzystać z faktu, iż jest ona wartością oczekiwaną rozkładu empirycznego i podstawić E(X)?

Czy w dalszej części zadania mogę skorzystać z tego, że zmienne \(\displaystyle{ X_{i}}\) są niezależne dla i=1,...,n, czyli \(\displaystyle{ D^{2}}\)(\(\displaystyle{ X_{1}}\)+...+\(\displaystyle{ X _{n}}\))=\(\displaystyle{ D^{2}}\)(\(\displaystyle{ X_{1}}\))+...+\(\displaystyle{ D^{2}}\)(\(\displaystyle{ X_{n}}\)) ?

[szw1710]

Rzeczywiście, właściwsza jest wartość średnia \(\displaystyle{ \overline{X}=\frac{1}{n}(X_1+\dots+X_n)}\) więc obliczenia trzeba by prowadzić nieco inaczej. Niezależność mamy z założenia, że próba jest prosta.

Łatwo możesz policzyć (właśnie na podstawie wzoru skróconego mnożenia), że

\(\displaystyle{ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2=\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i^2\right)-(\overline{X})^2.}\)

Spróbuj to wykorzystać. Pod skórą się czuje, że to wyrażenie jest estymatorem wariancji.

[leszczu450]

Podpinam się pod temat, bo mam ten sam problem. Jestem w miejscu, o którym Pan wspomina. Przystawiam z obu stron wartość oczekiwaną. Liczę z osobna:

\(\displaystyle{ \mathbb{E}\overline{X}^2= \frac{1}{n^2}\mathbb{E} \left( X_1 + \ldots + X_n \right) ^2}\)

oraz

\(\displaystyle{ \mathbb{E} \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X_i^2 \right) = \frac{1}{n}\mathbb{E} \left( X_1^2 + \ldots + X_n^2 \right)}\)

Nie wiem,co dalej zrobić...