Przedział ufności dla wariancji - co robię źle?

[lays]

Zbudować przedział ufności wariancji dla współczynnika ufności \(\displaystyle{ 1-\alpha=0,96}\) i danych:

6
7
2
10
7
3
5
4

\(\displaystyle{ n=8\\
\bar{x}=5,5\\
ns^2=\sum_{i=1}^{8} (x_i-\bar{x})^2=46\\
c_2=16,6224\\
c_1=1,5643\\
2,7673 <\sigma^2< 29,4063}\)

Podczas, gdy w odpowiedziach widnieje: \(\displaystyle{ 3,0 <\sigma^2< 31,9}\). Gdzie popełniam błąd?

[szw1710]

Zobacz czy we wzorze na wariancję w tej książce nie występuje czasem \(\displaystyle{ n-1?}\) Więc policz \(\displaystyle{ (n-1)s^2=\sum\dots}\). I przedstaw otrzymany wynik.

[lays]

\(\displaystyle{ (n-1)s^2=\frac{n-1}{n}\cdot\sum_{i=1}^{8}(x_i-\bar{x})^2=40,25\\
2,421<\sigma^2<25,73}\)

czyli jakby "nie w tę stronę"...

[szw1710]

Nie o to chodzi. Niektóre podręczniki definiują wariancję tak:

\(\displaystyle{ s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2.}\)

Ty masz tu (po uproszczeniu) i tak dzielenie przez \(\displaystyle{ n.}\) Uzasadnienie tego, co napisałem, jest takie, że suma kwadratów dzielona przez \(\displaystyle{ n-1}\) zamiast przez \(\displaystyle{ n}\) jest tzw. nieobciążonym estymatorem wariancji, co oznacza, kolokwialnie mówiąc, nie nawarstwianie się błędów.

Policz \(\displaystyle{ s^2}\) według wzoru, który podaję i teraz podaj wyniki.

[lays]

Korzystam z książki J. Grenia "Statystyka matematyczna. Modele i zadania" i stoi w niej: \(\displaystyle{ s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})^2\\\hat{s}^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})^2\\ns^2=(n-1)\hat{s}^2=\sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})^2}\)

[szw1710]

Czyli rozróżnia sprawę Spróbuję zobaczyć na obliczenia.

Twoje obliczenia są poprawne. \(\displaystyle{ \alpha=0.04}\), więc \(\displaystyle{ \frac{\alpha}{2}=0.02}\) Liczba stopni swobody to \(\displaystyle{ 7.}\)

W modelu z dzieleniem przez \(\displaystyle{ n-1}\) (czyli dla \(\displaystyle{ \hat{s}}\)) wychodzą inne wyniki. Ale tam może też ulec zmianie wzór na końce przedziału ufności. Doczytaj w książce i zobacz na wzory związane z \(\displaystyle{ \hat{s}.}\) Ty stosowałeś wzór z \(\displaystyle{ s}\),a mianowicie

\(\displaystyle{ \left[\frac{ns^2}{c_2},\frac{ns^2}{c_1}\right]}\)

[lays]

W modelu z dzieleniem przez \(\displaystyle{ n-1}\) (czyli dla \(\displaystyle{ \hat{s}}\)) wychodzą inne wyniki. Ale tam może też ulec zmianie wzór na końce przedziału ufności. Doczytaj w książce i zobacz na wzory związane z \(\displaystyle{ \hat{s}.}\) Ty stosowałeś wzór z \(\displaystyle{ s}\),a mianowicie

\(\displaystyle{ \left[\frac{ns^2}{c_2},\frac{ns^2}{c_1}\right]}\)

Zastanawiam się, jak mogą wychodzić inne wyniki, skoro wzór z odchyleniem nieobciążonym wygląda tak:

\(\displaystyle{ \left[\frac{(n-1)\hat{s}^2}{c_2},\frac{(n-1)\hat{s}^2}{c_1}\right]}\)

zatem po skróceniu "enów" znowu wyjdzie na to samo.

[szw1710]

To jeszcze błędy w odpowiedziach z podręcznika