Zadania z metod probabilistycznych i statystyki

kamilo90 · Post autor: **kamilo90** » 29 lut 2012, o 12:24

Witam serdecznie,
Potrzebuję pomocy w rozwiązaniu zadań zaliczeniowych z probabilistyki.
Zaznaczam, że nie oczekuję gotowych rozwiązań jednak proszę o nakierowanie jak się do nich zabrać z czego skorzystać...

Dziękuję

Oto zadania:
1. Zakładając, że liczba zapytań do serwera w ciągu godziny o określonej porze ma następujący rozkład:
Liczba zapytań $\displaystyle{ (X = x_{i})}$: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
P $\displaystyle{ (X = x_{i})}$: 0.14, 0.27, 0.27, 0.18, 0.09, 0.04, 0.01
Sporządź wykres rozkładu prawdopodobieństwa i dystrybuanty, oblicz oczekiwaną liczbę zapytań w ciągu godziny oraz odchylenie standardowe.

2. Automat dozujący napełnia dwukilowe puszki z farbą. Wiadomo, że rozkład dozowanych wartości farby jest normalny z odchyleniem standardowym $\displaystyle{ \sigma = 1.1dag}$. Po ustawieniu automatu dokonano 9 losowych pomiarów wagi zawartości puszek i otrzymano wyniki (w dag): 200.8, 199.0, 198.6, 197.8, 200.2, 199.8, 200.5, 197.5, 198.8.
Przyjmując współczynnik ufności $\displaystyle{ \alpha = 0.05}$ wyznacz przedział ufności dla wartości oczekiwanej m.

Gadziu · Post autor: **Gadziu** » 29 lut 2012, o 15:26

1. Jest funkcja skokowa, więc wykresem rozkałdu będzie wykres punktowy, po porstu przenosi wartości na wykres i zaznaczasz kropkami, z dystrybuantą trochę więcej zabawy, bo pierwsze to musisz ją sobie policzyć. Dystrybuanta to po prostu kumulata wszystkich prawdopodobieństw. Rysujesz takie schodki lewostronnie domknięte. Musisz sobie to wszystko ładnie w tabelkach napisać. W twoim wypadku oczekiwana liczba zapytań to wartośc eczkiwana. Przykładowo:
W tabelce wygląda to w miarę tak:
$\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}\hline
x & -2 & -1 & 0 & 1 & 3 \\ \hline
p & $\frac{1}{8}$ & $\frac{1}{8}$ & $\frac{1}{4}$ & $\frac{1}{4}$ & $\frac{1}{4}$ \\ \hline
\end{tabular}}$
No i tą tabelkę wykorzystujesz do policzenia wartości oczekiwanej i wariancji.
$\displaystyle{ E(x)= \sum xp \\ V(x)=E(x ^{2})-E^{2}(x) \\ \sigma = \sqrt{V(x)}}$
A dystrybuanta to inaczej kumulata czyli robisz sobie taką tabelkę:
$\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
x$<$X & x$<$-2 & x$<$-1 & x$<$0 & x$<$1 & x$<$3 & x$\ge$3 \\ \hline
F(x) & 0 & $\frac{1}{8}$ & $\frac{2}{8}$ & $\frac{4}{8}$ & $\frac{6}{8}$ & 1 \\ \hline
\end{tabular}}$

kamilo90 · Post autor: **kamilo90** » 29 lut 2012, o 17:46

Dzięki za odpowiedź

$\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c| }\hline x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline p & 0.14 & 0.27 & 0.27 & 0.18 & 0.09 & 0.04 & 0.01 \\ \hline \end{tabular}}$

Obliczam dystrybuantę:

$\displaystyle{ dla \ x \le 0}$
$\displaystyle{ F(x) = 0;}$
$\displaystyle{ dla \ 0 < x \le 1}$
$\displaystyle{ F(x) = 0 + 0.14;}$
$\displaystyle{ dla \ 1 < x \le 2}$
$\displaystyle{ F(x) = 0.14 + 0.27 = 0.41;}$
$\displaystyle{ dla \ 2 < x \le 3}$
$\displaystyle{ F(x) = 0.41 + 0.27 = 0.68;}$
$\displaystyle{ dla \ 3 < x \le 4}$
$\displaystyle{ F(x) = 0.68 + 0.18 = 0.86;}$
$\displaystyle{ dla \ 4 < x \le 5}$
$\displaystyle{ F(x) = 0.86 + 0.09 = 0.95;}$
$\displaystyle{ dla \ 5 < x \le 6}$
$\displaystyle{ F(x) = 0.95 + 0.04 = 0.99;}$
$\displaystyle{ dla \ x > 6}$
$\displaystyle{ F(x) = 0.99 + 0.01 = 1;}$

$\displaystyle{ F(x) = \begin{cases}
0 \ dla \ x \le 0\\
0.14 \ dla \ 0 < x \le 1\\
0.41 \ dla \ 1 < x \le 2\\
0.68 \ dla \ 2 < x \le 3\\
0.86 \ dla \ 3 < x \le 4\\
0.95 \ dla \ 4 < x \le 5\\
0.99 \ dla \ 5 < x \le 6\\
1 \ dla \ x > 6
\end{cases}}$

Z narysowaniem chyba nie będę miał problemu (jak można tu przedstawić wykresy? można wstawić zdjęcie?)

Obliczam wartość oczekiwaną:
$\displaystyle{ E(x)= \sum xp = 0 \cdot 0.14 + 1 \cdot 0.27 + 2 \cdot 0.27 + 3 \cdot 0.18 + 4 \cdot 0.09 + 5 \cdot 0.04 + 6 \cdot 0.01 = 1.97}$

Dobrze?
Problem mam z wariancją...

Gadziu · Post autor: **Gadziu** » 29 lut 2012, o 19:55

$\displaystyle{ E\left( x ^{2}\right) = \sum x ^{2}p}}$

kamilo90 · Post autor: **kamilo90** » 29 lut 2012, o 22:31

srednia z $\displaystyle{ p(x) = \frac{0.14+0.27+0.27+0.18+0.09+0.04+0.01}{7} = \frac{1}{7}}$

Wariancja:
$\displaystyle{ \sigma ^{2} = \frac{0 + 0.0169+ 0.0169 + 0.0016 + 0.0025 + 0.01 + 0.0169}{7}= \frac{0.0648}{7} = 0.009}$

Odchylenie standardowe:
$\displaystyle{ \sigma = \sqrt{ \sigma ^{2}} = 0.095}$

Tak dobrze ?

Gadziu · Post autor: **Gadziu** » 29 lut 2012, o 23:15

Oj coś tu strasznie namodziłeś... Nie chcę mi się szukać błędu więc masz rozwiązanie...
$\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & $ \sum $ \\ \hline
p & 0,14 & 0,27 & 0,27 & 0,18 & 0,09 & 0,04 & 0,01 & - \\ \hline
xp & 0 & 0,27 & 0,54 & 0,54 & 0,36 & 0,2 & 0,06 & 1,97 \\ \hline
$x ^{2}p $ & 0 & 0,27 & 1,08 & 1,62 & 1,44 & 1 & 0,36 & 5,77 \\ \hline
\end{tabular}}$

$\displaystyle{ E(x)=1,97 \\ E\left( x ^{2}\right)=5,77 \\ E ^{2}(x)=3,8809 \\ V(x)=E\left( x ^{2}\right)- E ^{2}(x) \\ V(x)=1,8891 \\ \sigma = \sqrt{V(x)} \\ \sigma = 1,3744}$

kamilo90 · Post autor: **kamilo90** » 1 mar 2012, o 09:01

Faktycznie, pomotałem to strasznie... czyli to już koniec zadania?

Jakieś pomysły co do tego drugiego ?

Gadziu · Post autor: **Gadziu** » 1 mar 2012, o 11:23

No masz wzór na przedział ufności taki:
$\displaystyle{ P\left(\overline{X}- \frac{U _{ \alpha } \sigma }{ \sqrt{n} }<m< \overline{X}+ \frac{U _{ \alpha } \sigma }{ \sqrt{n} } \right)=1- \alpha}$
No i trzeba pamiętać, że:
$\displaystyle{ 1- \alpha =0,95 \Rightarrow U _{ \alpha }=1,96}$
Myślę, że sobie poradzisz z resztą