Proces stochastyczny - wartość oczekiwana i kowariancja

[kamil2321]

Witam, bardzo proszę o sprawdzenie mojego rozwiązania jak również ewentualne poprawienie błędów.

Oto treść:
U,Ω – zmienne losowe niezależne o rozkładzie jednostajnym na [0,1]×[0,1]. Dany jest proces X(t)=U sin⁡Ωt. Wyliczyć E[X(t)] oraz \(\displaystyle{ K_{x}(t_{1}, t_{2})}\).

Moje rozwiązanie:
Wiemy, że dane zmienne losowe są niezależne, zatem wartość oczekiwana ich iloczynu jest równa iloczynowi wartości oczekiwanych, co możemy zapisać jako:
\(\displaystyle{ E[X(t)]=E[Usin⁡(\Omega t)] = E ∙ E[sin⁡(\Omega t)]}\)

Wartość oczekiwana rozkładu jednostajnego wynosi:
\(\displaystyle{ E= \frac{1}{2} (a-b)}\)

Gdzie a i b są w tym przypadku równe odpowiednio 1 i 0 (rozkład na [0,1]×[0,1]):
\(\displaystyle{ E=\frac{1}{2} (1-0)=\frac{1}{2}}\)

Natomiast aby obliczyć wartość oczekiwaną U sin⁡Ωt należy odwołać się do definicji wartości oczekiwanej:
\(\displaystyle{ E[X]=\int\limits_{-\infty}^{\infty} xf(x) dx}\)

Zmienna losowa Ω jest rozkładu jednostajnego na [0,1]×[0,1] zatem możemy wyliczyć gęstość takiego rozkładu:
\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} 1, 0 \le x \le 1 \\ 0, x < 0 \vee∨x > 1\end{cases}}\)

Podstawiając do wzoru na wartość oczekiwaną otrzymujemy:
\(\displaystyle{ E[sin⁡(\Omega t)] = \int\limits_{0}^{1} 1sin(\Omega t) d\Omega = \frac{1 - cos⁡t}{t}}\)

Zatem poszukiwana wartość oczekiwana wynosi:
\(\displaystyle{ E[X(t)]=E∙E[sin⁡(\Omega t)]= \frac{1 - cost}{2t}}\)



Teraz należy obliczyć funkcję kowariancyjną \(\displaystyle{ K_{x}(t_{1}, t_{2})}\):

\(\displaystyle{ K_{x}(t_{1}, t_{2}) = R_{x}(t_{1}, t_{2}) - E[X(t_{1})]E[X(t_{2})]}\)

\(\displaystyle{ R_{x}(t_{1}, t_{2}) = E[X(t_{1}) X(t_{2})]}\)

Zatem wstawiając do wzoru funkcję korelacji oraz obliczając dalej:
\(\displaystyle{ K_{x}(t_{1}, t_{2}) = E[X(t_{1}) X(t_{2})] - E[X(t_{1})]E[X(t_{2})] = E[Usin(\Omega t_{1} \cdot Usin(\Omega t_{2}))] - \left( \frac{1 - cos t_{1}}{2 t_{1}} \right)\left( \frac{1 - cos t_{2}}{2 t_{2}} \right) = E[ U^{2}] \cdot E[sin(\Omega t_{1})] \cdot E[sin(\Omega t_{2})] - \left( \frac{\left( 1 - cos t_{1}\right) \cdot \left( 1 - cos t_{2}\right) }{4 t_{1} t_{2}} \right)}\)

\(\displaystyle{ E[ U^{2} ] = \frac{1}{3}}\)

Korzystając z wartości obliczonych wcześniej:
\(\displaystyle{ K_{x}(t_{1}, t_{2}) = \frac{\left( 1 - cos t_{1}\right) \cdot \left( 1 - cos t_{2}\right) }{12 t_{1} t_{2}}}\)

[Kartezjusz]

Nie widzę zastrzeżeń...

[kamil2321]

Ok, dzięki.
Na pewno żadnych błędów, obliczeniowych też?