Udowodnić, że
\(\displaystyle{ e^{W_{t} - t/2}}\) jest martyngałem, gdzie \(\displaystyle{ {W_t}}\) jest procesem Wienera.
Bardzo proszę o rozpisanie \(\displaystyle{ E(e^{W_{t} - t/2}|F_{t-1})}\)... Nie mogę dojść do poprawnego wyniku.
Procesy stochastyczne. Proces Wienera a martyngały.
-
Piotr Dyszewski
- Użytkownik
- Posty: 29
- Rejestracja: 24 sty 2012, o 20:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 13 razy
Procesy stochastyczne. Proces Wienera a martyngały.
Przede wszystkim czas jest ciągły, więc chcemy policzyć coś więcej, konkretnie interesuje nas
\(\displaystyle{ \mathbb{E}[e^{ W_t-t/2}| \mathcal{F}_s]}\)
dla \(\displaystyle{ s<t}\) gdzie \(\displaystyle{ \mathcal{F}_t=\sigma(W_s|s \leq t)}\). Zanim zabierzemy się za bezpośrednie rachunki odnotujmy dwie rzeczy:
Co to jest . Przede wszystkim interesuje nas definicja i wartość oczekiwana. (wyliczenie tej wartości to osobna bajka)
Po drugie, z faktu że proces Wienera ma niezależne przyrosty wynika, że zmienna losowa \(\displaystyle{ W_t-W_s}\) jest stochastycznie niezależna do \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciała \(\displaystyle{ \mathcal{F}_s}\).
Teraz możemy zabrać się za rachunki:
\(\displaystyle{ \begin{array}{rcl}
\mathbb{E}[e^{W_t-t/2}|\mathcal{F}_s] & = & \mathbb{E}[e^{W_t-W_s+W_s} e^{-t/2}|\mathcal{F}_s]\\
& = & e^{-t/2} \mathbb{E}[e^{W_t-W_s}e^{W_s}|\mathcal{F}_s] \\
& = & e^{-t/2}e^{W_s} \:\mathbb{E}[e^{W_t-W_s} | \mathcal{F}_s] \\
& = & e^{-t/2}e^{W_s} \: \mathbb{E}[e^{W_t-W_s}]
\end{array}}\)
No i teraz zmienna losowa \(\displaystyle{ e^{W_t-W_s}}\), ma rozkład log-normalny ( bo \(\displaystyle{ W_t-W_s}\) jest normalny ze średnią zero i wariancją \(\displaystyle{ t-s}\)), więc jej wartość oczekiwana wynosi \(\displaystyle{ \exp\left\{\frac{t-s}{2} \right\}}\). Jeżeli to uwzględnimy, to dostaniemy
\(\displaystyle{ \mathbb{E}[e^{W_t-t/2}|\mathcal{F}_s]= e^{W_s -s/2}}\)
Zostaje jeszcze kwestia całkowalności i odpowiedniej mierzalności, to drugie mamy za darmo, a co do całkowalności, to nasz kandydat na martyngał to zmienne logarytmicznie normalne .
P. D.
\(\displaystyle{ \mathbb{E}[e^{ W_t-t/2}| \mathcal{F}_s]}\)
dla \(\displaystyle{ s<t}\) gdzie \(\displaystyle{ \mathcal{F}_t=\sigma(W_s|s \leq t)}\). Zanim zabierzemy się za bezpośrednie rachunki odnotujmy dwie rzeczy:
Co to jest . Przede wszystkim interesuje nas definicja i wartość oczekiwana. (wyliczenie tej wartości to osobna bajka)
Po drugie, z faktu że proces Wienera ma niezależne przyrosty wynika, że zmienna losowa \(\displaystyle{ W_t-W_s}\) jest stochastycznie niezależna do \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciała \(\displaystyle{ \mathcal{F}_s}\).
Teraz możemy zabrać się za rachunki:
\(\displaystyle{ \begin{array}{rcl}
\mathbb{E}[e^{W_t-t/2}|\mathcal{F}_s] & = & \mathbb{E}[e^{W_t-W_s+W_s} e^{-t/2}|\mathcal{F}_s]\\
& = & e^{-t/2} \mathbb{E}[e^{W_t-W_s}e^{W_s}|\mathcal{F}_s] \\
& = & e^{-t/2}e^{W_s} \:\mathbb{E}[e^{W_t-W_s} | \mathcal{F}_s] \\
& = & e^{-t/2}e^{W_s} \: \mathbb{E}[e^{W_t-W_s}]
\end{array}}\)
No i teraz zmienna losowa \(\displaystyle{ e^{W_t-W_s}}\), ma rozkład log-normalny ( bo \(\displaystyle{ W_t-W_s}\) jest normalny ze średnią zero i wariancją \(\displaystyle{ t-s}\)), więc jej wartość oczekiwana wynosi \(\displaystyle{ \exp\left\{\frac{t-s}{2} \right\}}\). Jeżeli to uwzględnimy, to dostaniemy
\(\displaystyle{ \mathbb{E}[e^{W_t-t/2}|\mathcal{F}_s]= e^{W_s -s/2}}\)
Zostaje jeszcze kwestia całkowalności i odpowiedniej mierzalności, to drugie mamy za darmo, a co do całkowalności, to nasz kandydat na martyngał to zmienne logarytmicznie normalne .
P. D.