Stochastyka, proces Poissona

Procesy stochastyczne. Sposoby racjonalizowania wielkich ilości informacji. Matematyka w naukach społecznych.
Espuma-gr4
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 25 sty 2012, o 00:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz

Stochastyka, proces Poissona

Post autor: Espuma-gr4 »

Witam,
Mam pewien problem z rozwiązaniem zadania:
Niech \(\displaystyle{ X_{t}}\) będzie jednorodnym procesem Poissona z parametrem \(\displaystyle{ \lambda}\) (z intensywnością \(\displaystyle{ \lambda}\)). Wyznaczyć wartość oczekiwaną, wariancję procesu \(\displaystyle{ Y_{t}}\) oraz \(\displaystyle{ P(Y_t > 1)}\), gdzie \(\displaystyle{ Y_t=X_{t+2}+X_t\ ,\ t>0}\).

Wyliczyłem wartość oczekiwaną
\(\displaystyle{ EX_t=\lambda t}\)

\(\displaystyle{ EY_t=E(N_{t+2}+N_t)=EN_{t+2}+EN_t=\lambda (t+2)+\lambda t=2\lambda t +2 \lambda}\)

oraz Wariancję do pewnego momentu
\(\displaystyle{ EX_t^2=\lambda t(1+\lambda t)}\)

\(\displaystyle{ EY_t^2=EY_t^2-(EY_t)^2=EY_t^2-(2\lambda t+2\lambda )^2=EY_t^2-(4\lambda ^2t^2+8\lambda ^2t+4\lambda ^2)}\)

\(\displaystyle{ EY_t^2=E(N_{t+2}+N_t)^2=E((N_{t+2})^2+2N_{t+2}N_t+N_t^2)=E(N_{t+2})^2+2E(N_{t+2}N_t)+E(N_t^2)=(\lambda t+2\lambda )(1+\lambda t+2\lambda )+\lambda t(1+\lambda t)+2E(N_{t+2}N_t)=\lambda t+2\lambda +\lambda ^2t^2+2\lambda ^2t+2\lambda ^2t+4\lambda ^2+\lambda t+\lambda ^2t^2+2E(N_{t+2}N_t)=2\lambda ^2t^2+4\lambda ^2t+4\lambda ^2+2\lambda t+2\lambda +2E(N_{t+2}N_t)}\)

i tutaj się zaciąłem, nie wiem jak dalej rozwinąć \(\displaystyle{ 2E(N_{t+2}N_t)}\)

Czy ktoś mógłby sprawdzić czy to co rozwiązałem jest prawidłowe oraz pomóc z dokończeniem tego zadania
No i nie mam pomysłu na wyliczenie \(\displaystyle{ P(Y_t > 1)}\).
Jeśli byłby ktoś w stanie pomóc to będę wdzięczny
Awatar użytkownika
Yaco_89
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 992
Rejestracja: 1 kwie 2008, o 00:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tychy/Kraków
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 204 razy

Stochastyka, proces Poissona

Post autor: Yaco_89 »

\(\displaystyle{ E(N_{t+2}N_t)=E(((N_{t+2}-N_t)+N_t)N_t))=E((N_{t+2}-N_t)N_t+N_t^2)=E(N_{t+2}-N_t)E(N_t)+E(N_t^2)= 2 \lambda \cdot t\lambda + 2 \lambda^2 t^2}\)
w czwartym przejściu skorzystałem z niezależności przyrostów procesu Poissona.
Espuma-gr4
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 25 sty 2012, o 00:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz

Stochastyka, proces Poissona

Post autor: Espuma-gr4 »

Dzięki, leci pomógł, a wiesz może jak rozwiązać \(\displaystyle{ P(Y_t > 1)}\) dla tego przykładu ?
Vlaho
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 25 sty 2012, o 01:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Stochastyka, proces Poissona

Post autor: Vlaho »

Witam,

Poniżej zamieszczam dwa zadania, możecie sprawdzić czy mój tok rozumowania jest prawidłowy?
Ewentualnie pomóc rozwiązać podane przykłady? Dziękuję za każdą pomoc.


Zadanie 1:
Niech \(\displaystyle{ N_t}\) będzie jednorodnym procesem Poissona z parametrem \(\displaystyle{ \lambda}\). Wyznaczyć \(\displaystyle{ P(N_{t}=1,N_{t+2}=4,N_{t+5}<6)}\)

Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ P(N_{t}=1,N_{t+2}=4,N_{t+5}<6)=P(N_t=1,N_{t+2}=4,N_{t+5}=5)=P(N_t=1,N_{t+2}-N_t=4-1,N_{t+5}-N_{t+2}=5-4)=P(N_t=1,N_2=3,N_3=1)=e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^1}{1!} \cdot e^{-\lambda 2}\frac{(\lambda 2)^3}{3!} \cdot e\frac{(\lambda 3)^1}{1!}=\lambda te^{-\lambda t}\cdot \frac{4}{3}\lambda ^3 e^{-2\lambda }\cdot 3\lambda e^1=4t\lambda ^5e^{-\lambda t-2\lambda +1}}\)

Zadanie 2:
Niech \(\displaystyle{ N_t}\) będzie jednorodnym procesem Poissona z parametrem \(\displaystyle{ \lambda}\). Wyznaczyć \(\displaystyle{ P(N_{t+2}=4,N_{t+3}>6|N_{t}>2)}\)

Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ P(N_{t+2}=4,N_{t+3}>6|N_{t}>2)=\frac{P(N_{t+2}=4,N_{t+3}>6,N_{t}>2)}{N_{t}>2}=\frac{P(N_{t}>2,N_{t+2}=4,N_{t+3}>6)}{N_{t}>2}=}\)\(\displaystyle{ \frac{P(N_{t}=3,N_{t+2}=4,N_{t+3}>6)+P(N_{t}=4,N_{t+2}=4,N_{t+3}>6)}{1-(P(N_{t}=0)+P(N_{t}=1)+P(N_{t}=2))}=}\)\(\displaystyle{ \frac{P(N_{t}=3,N_{t+2}-N_{t}=4-3,N_{t+3}-N_{t+2}>6-4)+P(N_{t}=4,N_{t+2}-N_{t}=4-4,N_{t+3}-N_{t}>2)}{1-(P(N_{t}=0)+P(N_{t}=1)+P(N_{t}=2))}=\frac{P(N_{t}=3,N_{2}=1,N_{1}>2)+P(N_{t}=4,N_{2}=0,N_{3}>2)}{1-(P(N_{t}=0)+P(N_{t}=1)+P(N_{t}=2))}=}\)\(\displaystyle{ \frac{(e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^3}{3!} \cdot e^{-2\lambda}\frac{(2\lambda)^1}{1!} \cdot e^{-\lambda}\frac{(\lambda)^2}{2!} )+ (e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^4}{4!} \cdot e^{-2\lambda}\frac{(2\lambda)^0}{0!} \cdot e^{-3\lambda}\frac{(3\lambda)^2}{2!})}{1-(e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^0}{0!} +e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^1}{1!} + e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^2}{2!})}=}\)\(\displaystyle{ \frac{(\frac{1}{6}(\lambda t)^3e^{-\lambda t} \cdot 2 \lambda e^{-2\lambda} \cdot \frac{1}{2}\lambda ^2e^{-\lambda})+( \frac{1}{24}e^{-\lambda t}(\lambda t)^4 \cdot e^{-2\lambda} \cdot \frac{9}{2}\lambda ^2e^{-3\lambda})}{1-(e^{-\lambda t} +\lambda t e^{-\lambda t} + \frac{1}{2} e^{-\lambda t}(\lambda t)^2)}=\frac{\frac{1}{6}\lambda ^6t^3e^{(-3\lambda -\lambda t)} + \frac{3}{16}\lambda ^6t^4e^{(-5\lambda -\lambda t)}}{1-(e^{-\lambda t} +\lambda t e^{-\lambda t} + \frac{1}{2} \lambda ^2t^2e^{-\lambda t})}}\)
ODPOWIEDZ