Witam, chciałbym poprosić o pomoc w rozwiązaniu danego zadania:
Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład wykładniczy o wartości oczekiwanej 1. Znaleźć gęstość zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y = \ln X}\) oraz obliczyć \(\displaystyle{ Pr(Y>0)}\).
Niestety nie wiem od czego zacząć. Dziękuję za pomoc
Zmienne losowe
-
Elharion
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 28 sty 2010, o 18:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowy Dwór Gd.
- Podziękował: 1 raz
Zmienne losowe
Ostatnio zmieniony 22 sty 2012, o 12:28 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach[latex] [/latex]
Powód: Poprawa wiadomości. Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach
-
acmilan
- Użytkownik
- Posty: 402
- Rejestracja: 27 kwie 2009, o 15:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa-Praga
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 50 razy
Zmienne losowe
Gęstość \(\displaystyle{ X}\) to \(\displaystyle{ g_{X}(t)=e^{-t}}\)
Gęstość \(\displaystyle{ Y}\) można obliczyć ze wzoru na gęstość podstawienia:
\(\displaystyle{ g_{Y}(t)=g_{X}( \varphi^{-1}(t)) \cdot |(\varphi^{-1})'(t)|}\) gdzie \(\displaystyle{ Y=\varphi (X)}\)
Czyli \(\displaystyle{ g_{Y}(t)=e^{-e^{t}}\cdot|e^{t}|=e^{t-e^{t}}}\)
\(\displaystyle{ Pr(Y>0)= \int_{0}^{ \infty }g_{Y}(t) dt= \int_{0}^{ \infty }e^{t-e^{t}} dt=[-e^{-e^{t}}]_{0}^{ \infty }=e^{-1}}\)
Gęstość \(\displaystyle{ Y}\) można obliczyć ze wzoru na gęstość podstawienia:
\(\displaystyle{ g_{Y}(t)=g_{X}( \varphi^{-1}(t)) \cdot |(\varphi^{-1})'(t)|}\) gdzie \(\displaystyle{ Y=\varphi (X)}\)
Czyli \(\displaystyle{ g_{Y}(t)=e^{-e^{t}}\cdot|e^{t}|=e^{t-e^{t}}}\)
\(\displaystyle{ Pr(Y>0)= \int_{0}^{ \infty }g_{Y}(t) dt= \int_{0}^{ \infty }e^{t-e^{t}} dt=[-e^{-e^{t}}]_{0}^{ \infty }=e^{-1}}\)