Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu następującego problemu.
Niech \(\displaystyle{ (W_{t})_{t \ge 0}}\) będzie procesem Wienera.
Obliczyć następującą wartość oczekiwaną: \(\displaystyle{ \mathbb{E}(W_{t}-W_{s})^4}\) dla \(\displaystyle{ t>s \ge 0}\) .
wartość oczekiwana z przyrostów procesu Wienera
-
kiris
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 7 cze 2008, o 13:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 1 raz
wartość oczekiwana z przyrostów procesu Wienera
Z własności procesu Wienera wiadomo, że zmienna \(\displaystyle{ $W_{t}-W_{s}$}\) ma rozkład \(\displaystyle{ N(0,t-s)}\), gdzie \(\displaystyle{ t-s}\) to wariancja.
Mój pomysł jest taki, by policzyć czwarty moment zwykły tej zmiennej (czyli \(\displaystyle{ $\mathbb{E}(X^{4})$}\), gdzie \(\displaystyle{ $X=W_{t}-W_{s}$}\)) korzystając z funkcji generującej momenty, która w tym wypadku ma postać:
\(\displaystyle{ $M_{X}(y)= \exp\left(\frac{(t-s) y^2}{2}\right)$}\)
Teraz należy wyznaczyć czwarty moment zwykły, czyli policzyć czwartą pochodną po y (Mathematica), podstawić y=0 i jest wynik.
\(\displaystyle{ $\mathbb{E}(W_{t}-W_{s})^{4}$=3(t-s)^{2}$}\)
Być może jest to troche skomplikowane, ale na razie tylko to przychodzi mi do głowy.
Pozdrawiam
Mój pomysł jest taki, by policzyć czwarty moment zwykły tej zmiennej (czyli \(\displaystyle{ $\mathbb{E}(X^{4})$}\), gdzie \(\displaystyle{ $X=W_{t}-W_{s}$}\)) korzystając z funkcji generującej momenty, która w tym wypadku ma postać:
\(\displaystyle{ $M_{X}(y)= \exp\left(\frac{(t-s) y^2}{2}\right)$}\)
Teraz należy wyznaczyć czwarty moment zwykły, czyli policzyć czwartą pochodną po y (Mathematica), podstawić y=0 i jest wynik.
\(\displaystyle{ $\mathbb{E}(W_{t}-W_{s})^{4}$=3(t-s)^{2}$}\)
Być może jest to troche skomplikowane, ale na razie tylko to przychodzi mi do głowy.
Pozdrawiam