Sposoby liczenia wariancji

[matemix]

Załóżmy, że mamy następujące dane:

-4 -3 -1 2 5 6
0,3 0,2 0,1 0,2 0,1 0,1

W wierszu pierwszym \(\displaystyle{ x_{i}}\), a w drugim \(\displaystyle{ p_{i}}\). Jak policzyć wariancję dla tych danych innym sposobem niż poniższy:

\(\displaystyle{ s=\frac {0,3 \cdot (-4+0,4)^{2}+02 \cdot (-3+0,4)^{2}+0,1 \cdot (-1+0,4)^{2}+0,2 \cdot (2+0,4)^{2}+0,1 \cdot (5+0,4)^{2}+0,1 \cdot (6+0,4)^{2}}{6} =2,24}\)

Podobno można to zrobić wzorem podobnym do tego:

\(\displaystyle{ s = \frac{0,3 \cdot (-4)^2 + 0,2 \cdot (-3)^2 + 0,1 \cdot (-1)^2 + 0,2 \cdot (2)^2 + 0,1 \cdot (5)^2 + 0,1 \cdot (6)^2}{6} = ...}\)

ale wynik się nie zgadza.

[chris_f]

Wzór o który ci zapewne chodzi to
\(\displaystyle{ s^2=\frac{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}{n}-\bar{x}^2}\).
Ty nie odejmujesz tam średniej podniesionej do kwadratu - stąd inny wynik.
Dla rachunku prawdopodobieństwa ten wzór wygląda tak
\(\displaystyle{ D^2(X)=E(X^2)-(E(X))^2}\)
gdzie \(\displaystyle{ D^2(X)}\) to wariancja a \(\displaystyle{ E(X)}\) to wartość oczekiwana (nadzieja matematyczna).

[matemix]

Wzór o który ci zapewne chodzi to
\(\displaystyle{ s^2=\frac{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}{n}-\bar{x}^2}\).
Ty nie odejmujesz tam średniej podniesionej do kwadratu - stąd inny wynik.

Mniej więcej o taki wzór. Ale ten wzór nie wydaje się być poprawny. Czy nie powinno w nim być gdzieś jeszcze np. prawdopodobieństw? No i wychodzi z niego co innego niż ze standardowego wzoru na wariancję - czyli moment centralny drugiego rzędu (w którego formule maszyna widzi jakiś rzekomy błąd i nawet nie mogę go wyświetlić w moim pierwszym poście). Z normalnego wzoru wychodzi mi 2,24.

[chris_f]

Ten wzór jest bardziej ze statystyki, drugi jest z prawdopodobieństwa - widzę, że bardziej ci chodzi o prawdopodobieństwo, a zatem
\(\displaystyle{ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
x_i&-4& -3& -1& 2& 5& 6\\ \hline
p_i&0,3& 0,2& 0,1& 0,2& 0,1& 0,1\\ \hline\end{array}}\)
Obliczamy
\(\displaystyle{ E(X)=\sum p_ix_i=(-4)\cdot0,3+(-3)\cdot0,2+(-1)\cdot0,1+2\cdot0,2+5\cdot0,1+6\cdot0,1=-0,4}\)
Teraz obliczamy wariancję
Pierwszym sposobem to będzie
\(\displaystyle{ D^2(X)=\sum p_i(x_i-E(X))^2=0,3(-4+0,4)^2+0,2(-3+0,4)^2+0,1(-1+0,4)^2+0,2(2+0,4)^2+0,1(5+0,4)^2+0,1(6+0,4)^2=13,44}\)
Drugim sposobem
\(\displaystyle{ D^2(X)=\sum p_ix_i^2 -(E(X))^2=0,3\cdot(-4)^2+0,2\cdot(-3)^2+0,1\cdot(-1)^2+0,2\cdot(2)^2+0,1\cdot(5)^2+0,3\cdot(6)^2-(-0,4)^2=13,44}\)
Drugi sposób jest zazwyczaj wygodniejszy, bo do kwadratów podnosimy zazwyczaj bardziej "okrągłe" liczby i jest mniej miejsc po przecinku.