\(\displaystyle{ X}\) jest próbą z rozkładu Poissona z parametrem \(\displaystyle{ v}\). Potrzebuje obliczyć obciązenie estymatora \(\displaystyle{ T(X)=(1-a/n) ^{ \sum_{i=1}^{n}X _{i} }}\)parametru \(\displaystyle{ g(v)=exp(-a*v)}\). Nie potrafię obliczyć wartości oczekiwanej tego estymatora, ktora jest potrzebna do obciązenia. Próbowałem tak...
\(\displaystyle{ ET(X)= \int_{}^{} (1-a/n) ^{ \sum_{i=1}^{n}X _{i} }dP= e ^{-(1-a/n) ^{ \sum_{i=1}^{n} }X _{i} }\sum_{k=0}^{ \infty } ((1-a/n) ^{ \sum_{i=1}^{n} X_{i} } ) ^{k} \frac{1}{k!}=e ^{-(1-a/n) ^{ \sum_{i}^{n}X _{i} } }*e^{(1-a/n) ^{ \sum_{i}^{n}X _{i} } }=1}\) Proszę o zweryfikowanie tego czy dobrze licze ta watosc oczekiwana, \(\displaystyle{ a}\) jest znane \(\displaystyle{ >0}\)
Czy może jednak tak:
\(\displaystyle{ ET(X)= \sum_{ \sum_{i=1}^{n}=0 }^{ \infty } (1-a/n) ^{ \sum_{i=1}^{n}x _{i} } \frac{v ^{ \sum_{i}^{n}x _{i} } }{\sum_{i}^{n}x _{i}}e ^{-v}=e ^{-va/n}}\)?