hej
jak policzyć cos takiego:
\(\displaystyle{ cov(X_{1}+X_{2}+...+X_{n}\ , Y_{1}+Y_{2}+...+Y_{n})}\) , wiedząc że
\(\displaystyle{ cov(X_{i},Y_{i}) = 1}\)
kowariancja sumy zmiennych
-
mm34639
- Użytkownik
- Posty: 245
- Rejestracja: 28 mar 2005, o 15:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 61 razy
kowariancja sumy zmiennych
Z definicji \(\displaystyle{ \textrm{Cov}(X,Y)=\mathbb{E}XY - \mathbb{E}X\mathbb{E}Y}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{E}[(X_1+\ldots+X_n)(Y_1+\ldots+Y_n)]}\)=\(\displaystyle{ \mathbb{E}(X_1 Y_1)+\mathbb{E}(X_1 Y_2)\ldots+\mathbb{E}(X_1 Y_n)+\mathbb{E}(X_2 Y_1)+\mathbb{E}(X_2 Y_2)+\ldots+\mathbb{E}(X_n Y_n)}\)
(każdy z każdym)
natomiast \(\displaystyle{ \mathbb{E}(X_1+\ldots+X_n)\mathbb{E}(Y_1+\ldots+ Y_n)=[\mathbb{E}(X_1)+\ldots+\mathbb{E}(X_n)][\mathbb{E}(Y_1)+\ldots+\mathbb{E}(Y_n)]=}\)
\(\displaystyle{ =\mathbb{E}X_1\mathbb{E}Y_1+\mathbb{E}X_1\mathbb{E}Y_2+\ldots+\mathbb{E}X_1\mathbb{E}Y_n+\mathbb{E}X_2\mathbb{E}Y_1+\ldots+\mathbb{E}X_n\mathbb{E}Y_n}\)
Czyli \(\displaystyle{ \textrm{Cov}(\sum_{i-1}^n X_i , \sum_{i=1}^n Y_i)=\sum_{i=1...n \; j=1...n}\textrm{Cov}(X_i,Y_j)=n^2}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{E}[(X_1+\ldots+X_n)(Y_1+\ldots+Y_n)]}\)=\(\displaystyle{ \mathbb{E}(X_1 Y_1)+\mathbb{E}(X_1 Y_2)\ldots+\mathbb{E}(X_1 Y_n)+\mathbb{E}(X_2 Y_1)+\mathbb{E}(X_2 Y_2)+\ldots+\mathbb{E}(X_n Y_n)}\)
(każdy z każdym)
natomiast \(\displaystyle{ \mathbb{E}(X_1+\ldots+X_n)\mathbb{E}(Y_1+\ldots+ Y_n)=[\mathbb{E}(X_1)+\ldots+\mathbb{E}(X_n)][\mathbb{E}(Y_1)+\ldots+\mathbb{E}(Y_n)]=}\)
\(\displaystyle{ =\mathbb{E}X_1\mathbb{E}Y_1+\mathbb{E}X_1\mathbb{E}Y_2+\ldots+\mathbb{E}X_1\mathbb{E}Y_n+\mathbb{E}X_2\mathbb{E}Y_1+\ldots+\mathbb{E}X_n\mathbb{E}Y_n}\)
Czyli \(\displaystyle{ \textrm{Cov}(\sum_{i-1}^n X_i , \sum_{i=1}^n Y_i)=\sum_{i=1...n \; j=1...n}\textrm{Cov}(X_i,Y_j)=n^2}\)