Proszę o rozwiązanie zadania:
Strzelec trafia do celu z prawdopodobieństwem 0,5. Jaką liczbę strzałów musi oddać, aby prawdopodobieństwo tego, że częstość trafienia do celu różni się od 0,5 co najwyżej o 0,1 było równe 0,95?
Twierdzenia graniczne
-
yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Twierdzenia graniczne
Niech \(\displaystyle{ S_n=X_1+\ldots+X_n}\) oznacza zmienną określającą ilość celnych trafień, gdzie \(\displaystyle{ X_i}\) to pojedynczy strzał.
Parametry rozkładu \(\displaystyle{ X_i}\):
\(\displaystyle{ m=0,5}\)
\(\displaystyle{ \sigma^2=m(1-m)}\)
Szukamy \(\displaystyle{ n}\) takiego, że
\(\displaystyle{ P\left(\left|\frac{S_n}{n}-m}\right|\leq 0.1\right)=0.95}\)
Przekształcenia:
\(\displaystyle{ P\left(\left|\frac{S_n}{n}-m}\right|\leq 0.1\right)=
P\left(-0.1\leq\frac{S_n}{n}-m}\leq 0.1\right)=
P\left(\frac{-0.1\sqrt{n}}{\sigma}\leq\frac{\frac{S_n}{n}-m}{\sigma}\sqrt{n}\leq\frac{0.1\sqrt{n}}{\sigma} \right)=
P\left(\frac{-0.1\sqrt{n}}{\sigma}\leq Z_n\leq\frac{0.1\sqrt{n}}{\sigma} \right)=
\Phi\left(\frac{0.1\sqrt{n}}{\sigma}\right)-\Phi\left(\frac{-0.1\sqrt{n}}{\sigma}\right)=\\2\Phi\left(\frac{\sqrt{n}}{10\sigma}\right)-1=0.95}\)
Gdzie \(\displaystyle{ Z_n}\) jest zestandaryzowaną zmienną losową, \(\displaystyle{ \Phi}\) dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego. Szczegóły pozostawiam Tobie.
Parametry rozkładu \(\displaystyle{ X_i}\):
\(\displaystyle{ m=0,5}\)
\(\displaystyle{ \sigma^2=m(1-m)}\)
Szukamy \(\displaystyle{ n}\) takiego, że
\(\displaystyle{ P\left(\left|\frac{S_n}{n}-m}\right|\leq 0.1\right)=0.95}\)
Przekształcenia:
\(\displaystyle{ P\left(\left|\frac{S_n}{n}-m}\right|\leq 0.1\right)=
P\left(-0.1\leq\frac{S_n}{n}-m}\leq 0.1\right)=
P\left(\frac{-0.1\sqrt{n}}{\sigma}\leq\frac{\frac{S_n}{n}-m}{\sigma}\sqrt{n}\leq\frac{0.1\sqrt{n}}{\sigma} \right)=
P\left(\frac{-0.1\sqrt{n}}{\sigma}\leq Z_n\leq\frac{0.1\sqrt{n}}{\sigma} \right)=
\Phi\left(\frac{0.1\sqrt{n}}{\sigma}\right)-\Phi\left(\frac{-0.1\sqrt{n}}{\sigma}\right)=\\2\Phi\left(\frac{\sqrt{n}}{10\sigma}\right)-1=0.95}\)
Gdzie \(\displaystyle{ Z_n}\) jest zestandaryzowaną zmienną losową, \(\displaystyle{ \Phi}\) dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego. Szczegóły pozostawiam Tobie.