Estymacja punktowa

Procesy stochastyczne. Sposoby racjonalizowania wielkich ilości informacji. Matematyka w naukach społecznych.
capricorn

Estymacja punktowa

Post autor: capricorn »

Dla wariancji \(\displaystyle{ \sigma ^2}\) cechy \(\displaystyle{ X}\) mającej rozkład \(\displaystyle{ N(\mu ,\sigma )}\) przy wykorzystaniu próby prostej \(\displaystyle{ X_{1,} X_2,\text{...} X_n}\) utworzono estymator \(\displaystyle{ T=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n \left(X_i-S\right){}^2}\), gdzie \(\displaystyle{ S}\) to średnia arytmetyczna próby. Znaleźć wariancję tego estymatora.

Robię pół dnia zadanie, ale cały czas wychodzi mi inaczej niż w odpowiedziach.
Odpowiedź: \(\displaystyle{ D^2(T)=\frac{2 \sigma ^2}{n-1}}\)
Moje rozumowanie:
Zmienne \(\displaystyle{ X_i}\) mają rozkład taki jak badana cecha czyli \(\displaystyle{ N(\mu ,\sigma )}\). \(\displaystyle{ S}\), z twierdzenia o rozkładzie sumy i transformacji liniowej zmiennej losowej o rozkładzie normalnym, ma rozkład \(\displaystyle{ N\left(\mu ,\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\right)}\). Następnie \(\displaystyle{ X_i-S}\) ma rozkład \(\displaystyle{ N\left(0,\sigma \sqrt{1+\frac{1}{n}}\right)}\). Zatem zmienna \(\displaystyle{ \frac{X_i-S}{\sigma \sqrt{1+\frac{1}{n}}}}\) ma rozkład \(\displaystyle{ N(0,1)}\). Czyli:
\(\displaystyle{ D^2(T)=D^2\left(\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n \left(X_i-S\right){}^2 \right)=\frac{1}{(n-1)^2}D^2\left(\sum _{i=1}^n \left(X_i-S\right){}^2\right)=\frac{1}{(n-1)^2}D^2\left( \sigma ^{2}\left(1+\frac{1}{n}\right)}\)\(\displaystyle{ \sum _{i=1}^n \left(\frac{X_i-S}{\sigma \sqrt{1+\frac{1}{n}}}\right){}^2)=...}\)
(Gdzie \(\displaystyle{ \sum _{i=1}^n \left(\frac{X_i-S}{\sigma \sqrt{1+\frac{1}{n}}}\right){}^2}\) ma rozkład chi-kwadrat z \(\displaystyle{ n}\) stopniami swobody, czyli wariancja tego wyrażania to \(\displaystyle{ 2n}\))


...=\(\displaystyle{ \frac{1}{(n-1)^2}\sigma ^4\left(1+\frac{1}{n}\right)^2D^2\left(\sum _{i=1}^n \left(\frac{X_i-S}{\sigma \sqrt{1+\frac{1}{n}}}\right){}^2\right)=\frac{2n}{(n-1)^2}\sigma ^4\left(1+\frac{1}{n}\right)^2}\)
Gdzie jest błąd?
trawiasty
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 10 wrz 2011, o 21:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 9 razy

Estymacja punktowa

Post autor: trawiasty »

Wydaje mi się, że nie możesz wyznaczyć rozkładu zmiennej \(\displaystyle{ X_{i}-S}\) w ten sposób. Zasada którą stosujesz wymaga, aby zmienne były niezależne, tymczasem \(\displaystyle{ S}\) jest funkcją \(\displaystyle{ X_{i}}\).
capricorn

Estymacja punktowa

Post autor: capricorn »

Jak w takim razie wyznaczyć rozkład tej różnicy? Albo rozwiązać zdanie innym sposobem? To takie trudne czy takie trywialne, że nikt mi nie może udzielić odpowiedzi?
trawiasty
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 10 wrz 2011, o 21:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 9 razy

Estymacja punktowa

Post autor: trawiasty »

Nie mam za bardzo pomysłu jak to w miarę szybko rozwiązać "od zera". Możesz skorzystać z "gotowego" twierdzenia mówiącego, iż zmienna \(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}}\) ma rozkład \(\displaystyle{ \sigma^{2}\chi_{n-1}^{2}}\).

... plications
ODPOWIEDZ