Matematyka.pl

Witam

Tym razem nie jestem pewien obliczeń dot. wariancji i odchylenia standardowego.



Przykład:

Dane: \(\displaystyle{ -3,2,5,5,6}\)

średnia:
\(\displaystyle{ \overline{x}= \frac{-3+2+5+5+6}{5}=3}\)


Wariancja:
\(\displaystyle{ \sigma ^{2}= \frac{ (-3-3)^{2}+(2-3)^{2}+(5-3)^{2}+(5-3)^{2}+(6-3)^{2} }{5}}\)

\(\displaystyle{ = \frac{36+1+4+4+9}{5} = 10,8}\)


Odchylenie standardowe:

\(\displaystyle{ \sigma= \sqrt{10,8}}\)



Czy we wzorze na wariancję w mianowniku jest
\(\displaystyle{ \sigma^{2}= \frac{(a- \overline{x})^2 +(b- \overline{x})^2+ (c- \overline{x})^2 }{n}}\)

czy ma być:
\(\displaystyle{ \sigma^{2}= \frac{(a- \overline{x})^2 +(b- \overline{x})^2+ (c- \overline{x})^2 }{n-1}}\)

Obliczenia OK. Oba podane wzory są stosowane w zasadzie wymiennie. Dla dużych \(\displaystyle{ n}\) nie ma to znaczenia, dla małych niewielkie. W każdym razie jedni autorzy stosują jeden wzór, inni drugi. Ten z \(\displaystyle{ n-1}\) w mianowniku jest tzw. nieobciążonym estymatorem wariancji, ten z \(\displaystyle{ n}\) jest obciążony. Ma to pewne znaczenie w estymacji punktowej parametrów rozkładu. Ale jak mówię, oba wzory można stosować wymiennie. Możesz tylko zapisać, z którego korzystasz.

Wzory podajesz nie do końca poprawnie: w liczniku tylko trzy składniki. Purystą tu nie jestem, wiem o co chodzi. Nie będę zatem ich poprawiał

Dzękuję

Jeszcze jedno pytanie, ponieważ znalazłem w necie jeszcze taki wzór na wariancję:
\(\displaystyle{ Var(X)=\overline{X}^2 - \overline{X^2}}\)

To jest to samo inaczej zapisane? Czy to jest w ogóle poprawne?

To jest poprawne. Inaczej (według mnie przystępniej) można to zapisać jako:
\(\displaystyle{ V(X) = E(X^2)-[E(X)]^2}\)