Gęstość, wartość oczekiwana i wariancja

[Piotrek71]

Witam,
dana jest gęstość:

\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} 0 \ dla \ x \le 0 \\ 0,4x \ dla \ 0<x \le \sqrt{5} \\0 \ dla \ x>\sqrt{5} \end{cases}}\)

mamy obliczyć wartość oczekiwaną \(\displaystyle{ -2x+1}\) oraz wariancję \(\displaystyle{ -2x+1}\).

Obliczam więc wartość oczekiwaną:
\(\displaystyle{ E(-2X+1)= \int_{-\infty}^{+\infty}(-2x+1) \cdot f(x)dx= \int_{0}^{ \sqrt{5} }(-2x+1) \cdot 0,4xdx= \int_{0}^{ \sqrt{5} }(-0,8x ^{2} +0,4x)dx=-0,8 \int_{0}^{ \sqrt{5} }x ^{2}dx +0,4 \int_{0}^{ \sqrt{5} }xdx= \frac{-0,8 \cdot 11,18}{3}+ \frac{0,4 \cdot 5}{2}=-1,98}\)

Obliczam drugi moment:
\(\displaystyle{ E((-2X+1) ^{2} )=E(4x ^{2}-4x+1) = = \int_{0}^{ \sqrt{5} }(4x ^{2}-4x+1) \cdot 0,4xdx=\int_{0}^{ \sqrt{5} }(1,6x ^{3}-1,6x ^{2} +0,4x)dx=1,6 \int_{0}^{ \sqrt{5} }x ^{3}dx -1,6 \int_{0}^{ \sqrt{5} }x^{2}dx+0,4\int_{0}^{ \sqrt{5} }xdx= 10-5,96+1=5,04}\)

Obliczam wariancję:
\(\displaystyle{ D ^{2} (-2x+1)=E((-2X+1) ^{2} )-E ^{2} (-2X+1) =5,04-(-1,98) ^{2} =1,12}\)

Czy powyższe obliczenia i wynik są poprawne?

[scyth]

Wygląda OK.

[Lider Artur]

Trochę dużo rachunków. O wiele łatwiej byłoby skorzystać z własności wartości oczekiwanej i wariancji:
\(\displaystyle{ E(aX+b)=aEX+b\\
Var(aX+b)=a^{2}Var(X)}\)

[Piotrek71]

Dzięki