Estymator nieobciążony

[Madlen89]

Witam,

Mam taki problem z zadaniem o treści :

Niech \(\displaystyle{ X_1 , ... , X_n}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu Rayleigha o gęstości:

\(\displaystyle{ f_{\theta}(x)= \begin{cases} \frac{x}{\sigma^2} \ e^{ \frac{-x}{2\sigma^2}} \ dla \ x >0 \\0 \ w \ przeciwnym \ wypadku \end{cases}}\)

gdzie \(\displaystyle{ \sigma >0}\) jest nieznanym parametrem. Wiadomo, że \(\displaystyle{ E_{\sigma}X_i=\theta \sqrt{ \frac{\pi}{2}}}\) oraz \(\displaystyle{ Var_{\sigma}X_i= \frac{\sigma^2}{2}(4- \pi)}\).
a) dobierz stałą \(\displaystyle{ c}\) tak, aby statystyka \(\displaystyle{ T=c \overline{X}}\) była estymatorem nieobciążonym parametru \(\displaystyle{ \sigma}\).

(Resztę podpunktów wiem jak zrobić mam problem tylko z tym, proszę bardzo o pomoc, ponieważ jutro mam egzamin). Dziękuję z góry

[Kamil_B]

Wystarczy skorzystać z definicji estymatora nieobciążonego oraz liniowości wartości oczekiwanej:
\(\displaystyle{ ET=E \left( c \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X_{i} \right )=\frac{c}{n}\sum_{i=1}^{n}EX_{i}=c \sqrt{ \frac{\pi}{2} }\sigma =\sigma}\)
Stąd \(\displaystyle{ c= \sqrt{ \frac{2}{\pi} }}\).

[Madlen89]

Wielkie dzięki -- 19 cze 2011, o 19:21 --Mam jeszcze jedno pytanie do tego zadania, mam wyznaczyć statystykę dostateczną dla \(\displaystyle{ \sigma}\). To wystarczy rozdzielić to z definicji dla przypadku \(\displaystyle{ x>0}\) ?

[Kamil_B]

Możesz przepisać np. swoją gęstość w postaci: \(\displaystyle{ f_{\theta}(x)=\frac{x}{\sigma^2}\cdot \exp \left\{ {\frac{-x}{2\sigma ^2} \right\}\cdot 1_{(0,\infty)}(x)}\) i teraz skorzystać z kryterium faktoryzacji