Wariancja zmiennej ciągłej

[SanczoPanczo]

Witam,

Mam funkcję gęstości:

\(\displaystyle{ f\left( x\right) = \begin{cases} \frac{1}{9}x^2, & 0 \le x \le 3 \\ 0, & w p.p \end{cases}}\)

I mam wyliczyć wariancję no to liczę...

Najpierw liczę wartość oczekiwaną ze wzoru \(\displaystyle{ E\left( X\right) = \int_{- \infty }^{ \infty } xf\left( x\right) dx}\)

I wychodzi mi, że \(\displaystyle{ E\left( X\right) = \frac{9}{4}}\)

Teraz CHCĘ skorzystać z tego wzoru do wyliczenia wariancji: \(\displaystyle{ V\left( X\right) = E\left( X^2\right) - E^2\left( X\right)}\), a więc brakuje mi do wyznaczenia \(\displaystyle{ E\left( X^2\right)}\) i tu nie wiem jak to wyliczyć, bo wzór podałem wyżej na \(\displaystyle{ E\left( X\right)}\) i....

Mam liczyć z tego:
\(\displaystyle{ E\left( X^2\right) = \int_{0}^{ 3} x^2f\left( x\right) dx = \int_{0}^{ 3} x^2 \cdot \frac{1}{9} x^2dx}\)

czy z tego:
\(\displaystyle{ E\left( X^2\right) = \int_{0}^{ 3} x^2f\left( x^2\right) dx = \int_{0}^{ 3} x^2 \cdot \frac{1}{9} x^4dx}\)

Który jest OK ?

[Juankm]

Ten wzór jest poprawny:
\(\displaystyle{ \\ E\left( X^2\right) = \int_{0}^{ 3} x^2f\left( x\right) dx = \int_{0}^{ 3} x^2 \cdot \frac{1}{9} x^2dx}\)

Warto zapamiętać:
Jeśli \(\displaystyle{ \alpha(x): \mathbb{R} \to \mathbb{R}}\) jest funkcją borelowską(w szczególności wszystkie funkcje ciągłe jak np. \(\displaystyle{ \alpha(x)=x^{2}}\) są borelowskie), a \(\displaystyle{ X}\) zmienną losową o wartościach w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) to zachodzi:
\(\displaystyle{ \\ E[\alpha(X)]=\int_{\mathbb{R}} \alpha(x)f(x) dx}\)

[SanczoPanczo]

Ten wzór jest poprawny:
\(\displaystyle{ \\ E\left( X^2\right) = \int_{0}^{ 3} x^2f\left( x\right) dx = \int_{0}^{ 3} x^2 \cdot \frac{1}{9} x^2dx}\)

Warto zapamiętać:
Jeśli \(\displaystyle{ \alpha(x): \mathbb{R} \to \mathbb{R}}\) jest funkcją borelowską(w szczególności wszystkie funkcje ciągłe jak np. \(\displaystyle{ \alpha(x)=x^{2}}\) są borelowskie), a \(\displaystyle{ X}\) zmienną losową o wartościach w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) to zachodzi:
\(\displaystyle{ \\ E[\alpha(X)]=\int_{\mathbb{R}} \alpha(x)f(x) dx}\)

Dziękuje!