Rozkład normalny sprawdzenie

[emocja]

Witam. Proszę tylko o sprawdzenie moich wyników, jeśli to możliwe.

1. W teście A o średniej=20 i odchyleniu standardowym=5 Jaś uzyskał wynik=11. W teście B o średniej=8 i odchyleniu standardowym=4 Jaś uzyskał wynik=4. W którym teście Jaś uzyskał gorszy wynik?

Ze wzoru na standaryzację: Z= \(\displaystyle{ \frac{Xi - srednia}{ \sigma }}\)

Wynika, że w teście A Z=-1,8, a w B Z= = -1.
Odp. Jasiowi poszło gorzej w teście B.

2. W pewnym teście psychologicznym rozkład wyników jest rozkładem normalnym o średniej równej 50 i odchyleniu standardowym równym 7.
a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowany z grupy osób badanych delikwent charakteryzować się będzie wynikiem w teście wyższym niż 70 ?
b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowany z grupy badany charakteryzować się będzie wynikiem w teście z przedziału od 40 do 65 ?
c. Jakie wyniki uzyskało środkowe 30 % osób badanych ?

Ad a) Po narysowaniu krzywej Gaussa, zaznaczeniu na połowie 50, kawałek dalej pionową linią zaznaczam 70. Wyliczam z wzoru na standaryzację:
\(\displaystyle{ \frac{70-50}{7}}\) jest w przybliżeniu 2,857...
Odczytuje z tablic rozkładu normalnego wartość dla Z. Najbliższa wartość to 0,4979. Po zamienieniu na procenty- 49,79%. Wyliczyłam procent od 50-70. Teraz odejmuję od mediany oczekiwaną wartość.
50%-49,79%= 0,21%

Odp. Prawdopodobieństwo wynosi 0,21% czyli 21/100.

b) Po lewej od mediany na krzywej zaznaczam wartość 40, po prawej- 65. Obliczam pole, między tymi dwoma wartościami (Z). Dla 45 Z wynosi -1,43, dla 65 natomiast 2,14.
Na tablicach rozkładu normalnego jest to analogicznie -0,4236 i 0,4838.
Po dodaniu tych dwóch wartości otrzymuje wynik= 0,9074, czyli 90,74%.

Odp. Prawdopodobieństwo wynosi 90,74%, czyli 9074/10000.

c) Dla C postępuje w sposób analogiczny. Po wyliczeniu Z podstawiam to pod przekształcony wzór na standaryzację rozkładu.

Odp. Środkowe 30% badanych uzyskało wyniki od 46,6-53,4 jednostek.

Zad.3
W pewnym teście o odchyleniu standardowym 50 Jaś zdobył 300 pkt. Okazało się, że nieco ponad 69% studentów miało wyniki gorsze od niego. Ile wynosił średni wynik w tym teście ?

X1=300, sigma=50, Z=19 (od mediany do 69), co na tabeli rozkładu normalnego pokazuje 0,5.
Po przekształceniu wzoru na standaryzację otrzymuję zapis:
średnia= 300- 0,5*50 = 275

Odp. Średni wynik w tym teście wyniósł 275 punktów.

Zad. 4.
Dokonano pomiaru długości kończyny górnej wśród wylosowanych 600 chłopców w wieku 17 lat. Otrzymane wyniki charakteryzują się rozkładem normalnym o średniej równej 65 cm i wariancji równej 25 cm
a. Ilu chłopców posiada kończynę o długości powyżej 75 cm ?
b. U ilu chłopców kończyna górna jest krótsza niż 69 cm ?

ad. a
Na rozkładzie normalnym zaznaczam medianę (65) i wartość 75. Interesuje mnie to, co powyżej niej. Obliczam wartość Z od 65-75 (75-65/5). Z =2. Na tablicy rozkładu normalnego jest to wartość 0,25, czyli 25%. Wynika z tego, że powyżej 75 znajduje się pozostałe 25% pomiarów. 1/4 z 600 to 150. To nasz Z. 300 (mediana) - 150= 150.
Zatem 150 chłopców posiada kończynę o długości powyżej 75cm.

ad. b
Postępuję analogicznie jak w punkcie a, jednak interesuje mnie teraz wartość Z od 65-69. Najbliżej 4 na tablicy rozkładu normalnego jest 0,1, czyli 10%. Z tego wynika, że 60% chłopców ma kończynę krótszą niż 69cm.
Korzystam z proporcji:
x= 600*60%/100%= 360

Odp. 360 chłopców ma kończynę krótszą niż 69 cm.

Jak prawdopodobnie widać, jestem studentką nauk społecznych, więc bardzo proszę o wyrozumiałość.
Pozdrawiam serdecznie,
E.

[sushi]

zadanie 1. ktora liczba jest mniejsza

zad 2

\(\displaystyle{ P(X>70)=1- P(X<70)= 1- P( \frac{X-50}{7} < \frac{70-50}{7} )= 1- \Phi(\frac{70-50}{7})}\)

do tablic ... wyjdzie np \(\displaystyle{ 1-0.4979=0.5021}\)

b)
\(\displaystyle{ P(40<X<65)= .... = \Phi( \frac{65-50}{7} ) - \Phi( \frac{40-50}{7} )=...}\)

wskazówka: \(\displaystyle{ \Phi(-x)= 1- \Phi(x)}\)

[Ciamolek]

Metoda dobra. Nie sprawdzałem arytmetyki i odpowiedzi w tablicach.

Jeden drobny błąd:

Odp. Prawdopodobieństwo wynosi 0,21% czyli 21/100.

To oczywiście nie jest prawdą, ale myślę, że wynikało to z braku koncentracji, więc nic poważnego.

Kilka ogólnych uwag:
w zadaniu 3. musisz założyć rozkład normalny [niby trywialne poniekąd, ale treść zadania nie mówi o tym bezpośrednio]

zadanie 4. jest zasadniczo bez sensu... gdyż odpowiedź na postawione pytania

a. Ilu chłopców posiada kończynę o długości powyżej 75 cm ?
b. U ilu chłopców kończyna górna jest krótsza niż 69 cm ?

jest możliwa tylko po zmierzeniu ręki każdego z tych chłopców. To, co Ty liczysz to statystyczny model, który zwraca prawdopodobieństwo dla niekończonej populacji (przy rozkładzie normalnym). A ilu chłopców w tej konkretnej próbie spełnia warunki zadania to zupełnie inna kwestia. Oczywiście Twoja metoda jest nadal słuszna... za to zadanie jest dość niefortunnie sformułowane.

Ponadto zauważ, że różnica między zadaniem 2. a 4. jest taka, że w drugim pytają o "prawdopodobieństwo", czyli o coś, co jesteś w stanie wyliczyć, a w 4. o ilość chłopców spełniających dany warunek w konkretnej próbie - tego nie jest w stanie policzyć (bez mierzenia chłopców), a możesz tylko modelować, podać wartość oczekiwaną etc.

Pozdrawiam,
Ciamolek

P.S.

Jak prawdopodobnie widać, jestem studentką nauk społecznych, więc bardzo proszę o wyrozumiałość.
Pozdrawiam serdecznie,
E.

Prawdopodobnie widać, ale nie wiadomo z jakim prawdopodobieństwem (nie wspominając już o rozkładzie i innych ciekawych parametrach).

[Ajon]

Czy mogę prosić o dokładniejsze wytłumaczenie zadania 3? Zwłaszcza czym jest Z.