sprawdzenie poprawności zadań ze zmiennych losowych

Procesy stochastyczne. Sposoby racjonalizowania wielkich ilości informacji. Matematyka w naukach społecznych.
SanczoPanczo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 69
Rejestracja: 5 gru 2010, o 01:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: gdzieś pomiędzy okresami sin(x)
Podziękował: 23 razy

sprawdzenie poprawności zadań ze zmiennych losowych

Post autor: SanczoPanczo »

Witam
Proszę o sprawdzenie rozwiązanych przeze mnie zadań ze statystyki pod kątek ich poprawności.

Zadanie 1

Treść:

Funkcja
\(\displaystyle{ F\left( x\right)=\left \{ {0 , x \le 0 \atop 1-e^{-x} , x>0 } \right.}\)
jest dystrybuantą zmiennej losowej X. Wyznaczyć funkcję gęstości zmiennej losowej X.

Moje rozwiązanie:

Z definicji \(\displaystyle{ f\left( x\right) = F'\left( x\right)}\), a więc:

\(\displaystyle{ \left( 1-e^{-x} \right) = \left( 1\right)' - \left( e^{-x} \right)' = -\left[ x^{-x} \cdot \left( -x\right)' \right] = e^{-x}}\)

i moja f. gęstości wygląda tak:

\(\displaystyle{ f\left( x\right)=\left \{ {0 , x \le 0 \atop e^{-x} , x>0 } \right.}\)


Zadanie 2

Treść:

Sprawdź, czy funkcja
\(\displaystyle{ f\left( x\right)=\left \{ {0 , x < 0 \atop e^{x} , x \ge 0 } \right.}\)
jest gęstością prawdopodobieństwa. Znajdź dystrybuantę F(x). Obliczyć prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P\left( X < \frac{1}{2} \right)}\) i \(\displaystyle{ P\left( 1 < X < 2\right)}\).

Moje rozwiązanie:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } e^xdx = \lim_{ b \to \infty } \int_{0}^{b} e^xdx = \infty}\)

Nie wiem czy dobrze to wyliczyłem... Następnie wyliczyłem dystrybuantę, ale skoro mi wyszło takie coś jak wyżej, że różne od 1 to w ogóle mogę liczyć dystrybuantę ? Zgroza....

\(\displaystyle{ \int_{}^{} e^xdx = e^x}\)

\(\displaystyle{ F\left( x\right)=\left \{ {0 , x < 0 \atop e^{x} , x \ge 0 } \right.}\)

\(\displaystyle{ P\left( X< \frac{1}{2} \right) = F\left( \frac{1}{2} \right) = e^{ \frac{1}{2} } = \sqrt{e}}\)

\(\displaystyle{ P\left( 1 < X < 2\right) = F\left( 2\right) - F\left( 1\right) = e^2 - e^1 \approx 7,389-2,7182 \approx 4,6708}\)

Zadanie 3

Treść:

Robotnik obsługuje 4 jednakowe warsztaty funkcjonujące automatycznie i niezależnie od siebie. Prawdopodobieństwo, że w ciągu godziny warsztat będzie wymagał zajęcia się nim wynosi 0.9. Podać najbardziej prawdopodobną liczbę warsztatów wymagających interwencji robotnika.

Moje rozwiązanie:

\(\displaystyle{ n=4}\)
\(\displaystyle{ p=0,9}\)
k to sukces, gdy k warsztatów potrzebuje interwencji robotnika.
zastosowałem rozkład dwumianowy

\(\displaystyle{ P\left( X=0 \right) = \left( _{0}^{4} \right) \left( 0,9 \right) ^0 \left( 0,1 \right) ^4 = 0,0001}\)

\(\displaystyle{ P\left( X=1 \right) = \left( _{1}^{4} \right) \left( 0,9 \right) ^1 \left( 0,1 \right) ^3 = 0,0036}\)

\(\displaystyle{ P\left( X=2 \right) = \left( _{2}^{4} \right) \left( 0,9 \right) ^2 \left( 0,1 \right) ^2 = 0,0486}\)

\(\displaystyle{ P\left( X=3 \right) = \left( _{3}^{4} \right) \left( 0,9 \right) ^3 \left( 0,1 \right) ^1 = 0,2916}\)

\(\displaystyle{ P\left( X=4 \right) = \left( _{4}^{4} \right) \left( 0,9 \right) ^4 \left( 0,1 \right) ^0 = 0,6561}\)

Z moich obliczeń wynika, że największe prawdopodobieństwo jest że interwencja będzie wymagana dla 4 warsztatów.

Zadanie 4

Treść:

Egzaminator zadaje studentowi pytanie. Prawdopodobieństwo tego, że student odpowie na każde pytanie jest równe 0.8. Egzaminator przerywa egzamin w chwili, gdy student nie umie odpowiedzieć na zadane pytanie. Podać rozkład zmiennej losowej X, będącej liczbą pytań, które egzaminator zadawał studentowi.

Moje rozwiązanie:

\(\displaystyle{ p=0,8}\)
\(\displaystyle{ q=0,2}\)

Zastosowałem rozkład dwumianowy.

Założyłem, że \(\displaystyle{ n}\) to zadane studentowi pytania, a więc poprawnych student udzielił poprawnie \(\displaystyle{ k=n-1}\) odpowiedzi, bo na ostatnie n-te pytanie nie odpowiedział i egzamin został przerwany. Natomiast \(\displaystyle{ k}\) to sukces, czyli poprawna odp. na pytanie.

I wyliczyłem kilka pierwszych wyrazów dla zmiennej losowej X:

\(\displaystyle{ P\left( X=0 \right) = \left( _{0}^{1} \right) \left( 0,8 \right)^0 \left( 0,2\right)^1=0,2}\)
\(\displaystyle{ P\left( X=1 \right) = \left( _{1}^{2} \right) \left( 0,8 \right)^1 \left( 0,2\right)^1=0,16}\)
\(\displaystyle{ P\left( X=2 \right) = \left( _{2}^{3} \right) \left( 0,8 \right)^2 \left( 0,2\right)^1=0,128}\)
\(\displaystyle{ P\left( X=3 \right) = \left( _{3}^{4} \right) \left( 0,8 \right)^3 \left( 0,2\right)^1=0,1024}\)
\(\displaystyle{ P\left( X=4 \right) = \left( _{4}^{5} \right) \left( 0,8 \right)^4 \left( 0,2\right)^1=0,08192}\)
\(\displaystyle{ P\left( X=5 \right) = \left( _{5}^{6} \right) \left( 0,8 \right)^5 \left( 0,2\right)^1=0,065536}\)



Bardzo Was proszę o sprawdzenie tych zadanek i ewentualną korektę, dziękuje
Awatar użytkownika
scyth
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

sprawdzenie poprawności zadań ze zmiennych losowych

Post autor: scyth »

1) Nie wiem co to jest:
\(\displaystyle{ -\left[ x^{-x} \cdot \left( -x\right)' \right]}\)
ale jak to usuniesz to masz ok.

2) Całka dobrze policzona (może tam miało być w gęstości \(\displaystyle{ e^{-x}}\)?). Jak to nie jest gęstość - koniec zadania (prawdopodobieństwo > 1?).

3) OK

4) Źle - zauważ, że pytanie, w którym się student myli, musi paść jako ostatnie.
ODPOWIEDZ