Poniżej znajduje się wyprowadzenie wzoru na kowiariancję specjalnie skonstruowanych zmiennych losowych tworzących proces Wienera.
Niech:
\(\displaystyle{ (\varphi_n)_{n=1}^\infty}\) będzie dowolnym układem ortonormalnym zupełnym w przestrzeni \(\displaystyle{ L^2[0,1]}\),
\(\displaystyle{ (\gamma_n)_{n=1}^\infty}\) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie \(\displaystyle{ \mathcal{N}(0, 1)}\).
Wówczas następujący proces zmiennych losowych jest procesem Wienera:
\(\displaystyle{ W_t = \sum_{n=1}^\infty \gamma_n \int_0^t \varphi_n(s)\; \mathrm{d}s}\)
o następuącej funkcji kowariancji:\(\displaystyle{ cov(W_t, W_s) = \mathbb{E}\bigg(\Big(\sum_{n=1}^\infty \gamma_n \int_0^t \varphi_n(u)\; \mathrm{d}u\Big)\Big(\sum_{n=1}^\infty \gamma_n \int_0^s \varphi_n(u)\; \mathrm{d}u\Big)\bigg) =}\)
\(\displaystyle{ = \sum_{n=1}^\infty \int_0^t \varphi_n(u)\; \mathrm{d}u \cdot \int_0^s \varphi_n(u)\; \mathrm{d}u =}\)
\(\displaystyle{ = \sum_{n=1}^\infty \int_0^1 \mathbf{1}_{[0,t]}(u) \varphi_n(u)\; \mathrm{d}u \int_0^1 \mathbf{1}_{[0,s]}(u) \varphi_n(u)\; \mathrm{d}u =}\)
\(\displaystyle{ = \sum_{n=1}^\infty \int_0^1 \mathbf{1}_{[0,t]}(u) \mathbf{1}_{[0,s]}(u)\; \mathrm{d}u = \mathrm{min}(t, s)}\)
\(\displaystyle{ = \sum_{n=1}^\infty \int_0^t \varphi_n(u)\; \mathrm{d}u \cdot \int_0^s \varphi_n(u)\; \mathrm{d}u =}\)
\(\displaystyle{ = \sum_{n=1}^\infty \int_0^1 \mathbf{1}_{[0,t]}(u) \varphi_n(u)\; \mathrm{d}u \int_0^1 \mathbf{1}_{[0,s]}(u) \varphi_n(u)\; \mathrm{d}u =}\)
\(\displaystyle{ = \sum_{n=1}^\infty \int_0^1 \mathbf{1}_{[0,t]}(u) \mathbf{1}_{[0,s]}(u)\; \mathrm{d}u = \mathrm{min}(t, s)}\)
Wyprowadzenie to znajduje się w książce [1]. Tok rozumowania autora okazał się dla mnie zbyt szybki.
Czy ktoś orientuje się w temacie i byłby skłonny wytłumaczyć poszczególne przejścia w wyprowadzeniu?
--
[1] Jakubowski J., Sztencel R.: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa
