Moment centralny 2 nie jest równy wariancji?

[olek1]

Wszędzie pisze, że moment centralny drugi jest wariancją. Ja jednak korzystając ze wzoru na wariancję:
\(\displaystyle{ D^{2}(X) = E(X{2}) - [E(X)]^{2}}\) oraz obliczając moment centralny drugi otrzymuję różne wyniki. Dlaczego?

Przykładowy rozkład i policzone dla niego wariancje:



Wariancja liczona ze wzoru \(\displaystyle{ D^{2}(X) = E(X{2}) - [E(X)]^{2}}\) :

\(\displaystyle{ E(X) = 1 \cdot 0,7 + 2 \cdot 0,21 + 3 \cdot 0,063 + 4 \cdot 0,0027 = 0,7 + 0,42 + 0,189 + 0,0108 = 1,32}\)
\(\displaystyle{ E(X^{2}) = 1 \cdot 0,7 + 4 \cdot 0,21 + 9 \cdot 0,063 + 16 \cdot 0,0027 = 0,7 + 0,84 + 0,567 + 0,043 = 2,15}\)

\(\displaystyle{ D^{2}(X) = 2,54 - (1,32)^{2} = 2,15 - 1,74 = 0,41}\)

Wariancja liczona z momentu centralnego drugiego: \(\displaystyle{ C_{K} = \sum_{i=1}^{oo} (Xi - m)^{2}\cdot Pi}\)
\(\displaystyle{ C_{2} = (1 - 1,32)^{2} \cdot 0,7 + (2 - 1,32)^{2} \cdot 0,21 + (3 - 1,32)^{2} \cdot 0,063 + (4 - 1,32)^{2} \cdot 0,0027 = 0,072 + 0,098 + 0,18 + 0,02 = 0,37}\)

Jak widać oba wyniki są różne. Dlaczego? Jaki błąd popełniam?

[Ciamolek]

Przede wszystkim Twoje prawdopodobieństwa nie sumują się do \(\displaystyle{ 1}\), a do \(\displaystyle{ 0.9757}\). Nie dodałeś przypadkiem jednego zera za dużo dla \(\displaystyle{ P(X=4)}\)?

Pozdrawiam,
Ciamolek

[olek1]

Ok. Fakt poprawiłem już.

\(\displaystyle{ E(X) = 1 \cdot 0,7 + 2 \cdot 0,21 + 3 \cdot 0,063 + 4 \cdot 0,027 = 0,7 + 0,42 + 0,189 + 0,0108 = 1,417}\)
\(\displaystyle{ E(X^{2}) = 1 \cdot 0,7 + 4 \cdot 0,21 + 9 \cdot 0,063 + 16 \cdot 0,027 = 0,7 + 0,84 + 0,567 + 0,432 = 2,539}\)

\(\displaystyle{ D^{2}(X) = 2,54 - (1,417)^{2} = 2,54 - 2.01 = 0,53}\)

\(\displaystyle{ C_{2} = (1 - 1,42)^{2} \cdot 0,7 + (2 - 1,42)^{2} \cdot 0,21 + (3 - 1,42)^{2} \cdot 0,063 + (4 - 1,42)^{2} \cdot 0,027 = 0,12 + 0,071 + 0,16 + 0,18 = 0,531}\)

Dzięki, jak widać wszystko się zgadza. Wydaje mi się, że wszystko jest już dobrze policzone.