Wartość oczekiwana, wariancja oraz moment centralny.

[olek1]

Próbuje zrobić podane niżej zadanie, ale wyniki mi się nie zgadzają:

W szalupie ratunkowej są cztery race. Rozbitkowie z zatopionego statku wystrzeliwują race do momentu, aż któraś zostanie zauważona przez ratowników, lub do momentu ich wyczerpania się. Liczba wystrzelonych rac jest zmienną losową. Wiedząc, że prawdopodobieństwo zauważenia racy przy każdym jej wystrzeleniu wynosi 0,7, obliczyć wartość oczekiwaną, wariancję oraz moment centralny trzeciego rzędu.

Moje obliczenia:

Skorzystałem z rozkładu geometrycznego \(\displaystyle{ {(1-p) ^{k-1}} * p}\) i wyszedł mi taki rozkład:



Licząc wartość oczekiwaną korzystałem z wzoru:

\(\displaystyle{ E(X) = \sum_{i=1}^{oo} Xi Pi}\)

i otrzymałem:

\(\displaystyle{ E(X) = 1 \cdot 0,7 + 2 \cdot 0,21 + 3 \cdot 0,063 + 4 \cdot 0,0189 = 0,7 \cdot 0,42 \cdot 0,189 \cdot 0,0756 = 1,38}\)

\(\displaystyle{ E(X^{2}) = 2,41}\)

Licząc wariancję korzystałem z wzoru:

\(\displaystyle{ D^{2}(X) = E(X{2}) - [E(X)]^{2}}\)

i otrzymałem:

\(\displaystyle{ D^{2}(X) = 2,41 - (1,38)^{2} = 2,41 - 1,90 = 0,51}\)

Moment centralny trzeciego rzędu liczyłem z wzoru:

\(\displaystyle{ C_{K} = \sum_{i=1}^{oo} (Xi - m)^{k}\cdot Pi}\)

i otrzymałem następujące rachunki:

\(\displaystyle{ C_{3} = (1-1,38)^{3} \cdot 0,7 + (2-1,38)^{3} \cdot 0,21 + (3-1,38)^{3} \cdot 0,063 + (4-1,38)^{3} \cdot 0,0189 = -0,038 + 0,05 + 0,27 + 0,34 = 0,622}\)

Niestety wyniki, które otrzymałem odbiegają od tych z książki, które prezentują się następująco:



\(\displaystyle{ E(X) = 1,417}\)
\(\displaystyle{ D^{2}(X) = 0,53}\)
\(\displaystyle{ C_{3} = 4,846}\)

Czy może mnie ktoś naprowadzić gdzie popełniłem błędy w swoich obliczeniach? Sam już nie mam pojęcia.

[scyth]

Po pierwsze zauważ, że prawdopodobieństwa nie sumują Ci się do jedynki.

[olek1]

Ok doszedłem już do tego. W książce jest błąd powinno być 0,027 zamiast 0,0027. Wszystkie wyniki wychodzą mi dobrze oprócz momentu centralnego trzeciego rzędu. Gdzie popełniam błąd?

Korzystam z tego wzoru na moment centralny k-tego rzędu: \(\displaystyle{ C_{K} = \sum_{i=1}^{oo} (Xi - m)^{K}\cdot Pi}\)

I wychodzi mi tak:

\(\displaystyle{ C_{3} = (1-1,42)^{3} \cdot 0,7 + (2-1,42)^{3} \cdot 0,21 + (3-1,42)^{3} \cdot 0,063 + (4-1,42)^{3} \cdot 0,027 = -0,05 + 0,04 + 0,25 + 0,46= 0,7}\)

W książce zaś widnieje wynik \(\displaystyle{ C_{3} = 4,846}\)

Co zrobiłem źle?