ekstremum wartośći oczekiwanej

Kamiangel · Post autor: **Kamiangel** » 30 kwie 2011, o 16:06

Witam napotkałam taki problem i proszę o pomoc.
Dla jakich wartości współczynników a,b spełniających warunek \(\displaystyle{ a^{2}+ b^{2}=1}\)
wartość oczekiwana \(\displaystyle{ E[aX+bY] ^{2}}\) osiąga ekstremum ?

fon_nojman · Post autor: **fon_nojman** » 30 kwie 2011, o 19:03

Co wiemy o \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\)?

Kamiangel · Post autor: **Kamiangel** » 30 kwie 2011, o 19:16

o X i Y wiemy tylko tyle ze ich wartosc oczekiwana to zero ale to chyba niewiele pomaga
do dyspozycji jest tez macierz kowariancji ale ogolnie na symbolach

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 30 kwie 2011, o 19:31

Coś o niezależności wiemy?

Kamiangel · Post autor: **Kamiangel** » 30 kwie 2011, o 19:36

nic nie wiadomo o niezaleznosci

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 30 kwie 2011, o 19:38

Rozkład chociaż? Jak nie to dla mnie zadanie jest niewykonalne

Kamiangel · Post autor: **Kamiangel** » 30 kwie 2011, o 19:48

nie ma rozkladu ale mialam wczesniej podpunkt taki zeby wyznaczyc najmniejsza wartosc wart. ocz. taką
i wyszlo bardzo ladnie
\(\displaystyle{ E[X+aY]^{2} =EY ^{2}a ^{2}+2EXYa+EX ^{2}}\) i tu mamy funkcję kwadratową zmiennej "a" wiec minimum to bedzie wierzchołek paraboli... Wiec moze da sie rozwiazac podobnie ? jakos latwo ?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 30 kwie 2011, o 19:52

No też podnieś do kwadratu. Wtedy masz funkcje dwóch zmiennych. Szukasz ekstremum warunkowego i tyle (jednak da się)

Kamiangel · Post autor: **Kamiangel** » 30 kwie 2011, o 19:54

probowalam liczyc pochodna ale sie nie doliczylam....

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 30 kwie 2011, o 19:55

Masz wielomiany przecież....i tutaj liczysz pochodne cząstkowe

Kamiangel · Post autor: **Kamiangel** » 30 kwie 2011, o 19:58

ale po co pochodne czastkowe ?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 30 kwie 2011, o 19:59

wartości współczynników a,b spełniających

Od \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) zależy to ekstremum

Kamiangel · Post autor: **Kamiangel** » 30 kwie 2011, o 20:06

no ok to
mam \(\displaystyle{ E[aX+bY] ^{2}] = a ^{2}EX ^{2}+2abEXY+b ^{2}EY ^{2}}\)
wylicze pochodna po a
\(\displaystyle{ 2aEX ^{2}+2bEXY}\)
pochodna po b
\(\displaystyle{ 2bEY ^{2}+2aEXY}\)
i gdzie to ekstremum ? jak teraz mam dwie funkcje ?
Przepraszam ze tak dopytuje ale mecze sie z tym zadaniem juz bardzo dlugo

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 30 kwie 2011, o 20:07

Szukasz punktów dla których te dwa wyrażenia się zerują (btw chyba takie rzeczy to powinnaś wiedzieć, nie?)

Kamiangel · Post autor: **Kamiangel** » 30 kwie 2011, o 20:15

chyba powinnam i ekstremum funkcji potrafie znalezc ale jakos tego tu nie widze