Zmienna losowa o rozkładzie normalnym

[mlecz88]

Czas przejazdu trasy slalomu specjalnego jest zmienną losową o rozkładzie normalnym. Najwięcej zawodników przejeżdża tę trasę w czasie 1,5 minuty, zaś 33% jechało dłużej niż 1,588 minuty. Określ czas przejazdu:
a) 10% najgorszych zawodników
b) 20% najlepszych zawodników

proszę o jakieś wskazówki

[szw1710]

Rozkład \(\displaystyle{ N(m,\sigma)}\), znamy \(\displaystyle{ m=1{,}5}\), na razie nie znamy \(\displaystyle{ \sigma}\). Ale wiemy, że \(\displaystyle{ P(X>1{,}588)=0{,}33}\). Stąd

\(\displaystyle{ P(X>1{,}588)=P\Bigl(\frac{X-1{,}5}{\sigma}>\frac{1{,}588-1{,}5}{\sigma}}\Bigr)=0{,}33}\).

Ale zmienna \(\displaystyle{ \frac{X-m}{\sigma}=\frac{X-1{,}5}{\sigma}}\) ma rozkład \(\displaystyle{ N(0,1)}\). Mamy też

\(\displaystyle{ P\Bigl(\frac{X-1{,}5}{\sigma}>\frac{1{,}588-1{,}5}{\sigma}}\Bigr)=1-\Phi\Bigl(\frac{1{,}588-1{,}5}{\sigma}\Bigr)}\).

Zatem

\(\displaystyle{ 1-\Phi\Bigl(\frac{1{,}588-1{,}5}{\sigma}\Bigr)=0{,}33\\
\Phi\Bigl(\frac{1{,}588-1{,}5}{\sigma}\Bigr)=0{,}67}\)

Z tablic rozkładu \(\displaystyle{ N(0,1)}\) odczytaj dla jakiego \(\displaystyle{ u}\) mamy \(\displaystyle{ \Phi(u)=0{,}67}\) i stąd wylicz \(\displaystyle{ \sigma}\).

Niech \(\displaystyle{ t}\) - progowy czas przejazdu 10% najgorszych zawodników: \(\displaystyle{ P(X>t)=0{,}1}\) i zastosuj chwyt ze standaryzacją rozkładu. Chwyt ten wyjaśniłem powyżej, a także był wyjaśniany (także przeze mnie) wielokrotnie na forum - wystarczy poszukać.

Podobnie robimy dla czasu 20% najlepszych zawodników.

[mlecz88]

ok, wyszło 0,4

jeśli dobrze zrozumiałam to teraz liczę \(\displaystyle{ X>1,5 = 0,1}\)?

to 0,4 mogę już tutaj podstawić?

[szw1710]

to 0,4 mogę już tutaj podstawić?

O to właśnie chodziło.

jeśli dobrze zrozumiałam to teraz liczę \(\displaystyle{ X>1,5 = 0,1}\)?

Nie! Szukasz czasu progowego 10% najgorszych zawodników. Musisz zastosować zmienną, bo go na razie nie znasz! Napisałem to wcześniej. Tak samo robimy z ostatnim podpunktem.

[Lola_1993]

Hej Właśnie robię to samo zadanie i wyniki wychodzą mi bardzo zbliżone do odpowiedzi, które mam na końcu książki ale to jednak nie jest to Mógłby ktoś napisać mi czy w ogóle dobrze to robię i ewentualnie wskazać błąd ?

\(\displaystyle{ \sigma}\) mi wyszła 0,2

i teraz np. chcąc obliczyć czas 10% najgorszych zawodników to układam coś takiego..
\(\displaystyle{ P(X>t)=1 - P\Bigl(\frac{t-1{,}5}{\ 0,2}}\Bigr)=0{,}1 ?}\)

[Alef]

\(\displaystyle{ P(X>t)=1-P(X \le t)}\)

zatem coś pokręciłaś...