Witam
Rozwiązuję dosyć klasyczne zadanie i utknąłem, czy mógłby mi ktoś pomóc?
zadanie)
niech\(\displaystyle{ S=\sqrt\frac{\sum (x_i-\bar x)^2}{n-1}}\)
Oblicz obciążenie S jako estymatora odchylenia standardowego
Doszedłem póki co do czegoś takiego
Z twierdzenie Fishera wiemy że \(\displaystyle{ \bar X i S^2}\) są zmiennymi niezależnymi oraz
\(\displaystyle{ \frac{n-1}{\sigma^2}S^2 \sim \chi^2(n-1)\\
\bar X \sim N(\mu,\sigma^2/n)\\}\)
zatem z własności rozkładu normalnego:
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{n}}{\sigma}\bar X-\mu\frac{\sqrt{n}}{\sigma} \sim N(0,1)}\)
Możemy zatem skonstruować za pomocą tych zmiennych rozkład t-Studenta
\(\displaystyle{ \frac{\frac{\sqrt{n}}{\sigma}\bar X-\mu\frac{\sqrt{n}}{\sigma}}{\sqrt{\frac{n-1}{\sigma^2}S^2(n-1)}}=
\frac{\sqrt{n}\bar X-\mu\sqrt{n}}{\sqrt{S^2}}=\frac{\sqrt{n}(\bar X-\mu)}{S}\\
E\frac{\sqrt{n}(\bar X-\mu)}{\sqrt{S^2}}=0\\}\)
Więc to nas do niczego nie poprowadzi. Policzmy zatem wariancję.
\(\displaystyle{ var\frac{\sqrt{n}\bar X-\mu\sqrt{n}}{S}=\frac{n-1}{n-3}\\
var(\bar X-\mu)*var\frac{1}{S}=\frac{n-1}{(n-3)n}\\}\)
I teraz o ile \(\displaystyle{ var(\bar X-\mu)}\) jakoś by się policzyło to wyliczenie teraz wartości oczekiwanej S za pomocą \(\displaystyle{ var\frac{1}{S}}\) to trochę jakby "zamienił stryjek siekierkę na kijek". Może powinienem tą wartość oczekiwaną policzyć wprost? Tylko wtedy całka do policzenia jest dosyć paskudna.
Pozdrawiam
Meti