metoda momentów

Procesy stochastyczne. Sposoby racjonalizowania wielkich ilości informacji. Matematyka w naukach społecznych.
horrorschau
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 113
Rejestracja: 1 paź 2008, o 20:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: lbn
Podziękował: 4 razy

metoda momentów

Post autor: horrorschau »

Witam!
Mam problem ze zrozumieniem takiego zadania:
Ogólnie chodzi o wyznaczenie estymatora metodą momentów.
Cecha ma rozkład gamma z parametrami:
alfa = p oraz lambda = \(\displaystyle{ \frac{1} \beta {}}\).
No i wyzanczamy ze wzoru momenty:
pierwszy moment: \(\displaystyle{ \frac{p}{ \beta }}\)
drugi moment: \(\displaystyle{ \frac{p*(p+1)}{ \beta ^{2} }}\)
I dalej w książce te momenty są porównane odpowiednio: pierwszy moment do średniej \(\displaystyle{ \frac{ \sum_{1}^{n} X _{i} }{n}}\) oraz drugi moment do \(\displaystyle{ \frac{1}{n} \sum_{1}^{n} X _{i} ^{2}}\).
I z tego są wyznaczone parametry.
Tylko skąd się bierze to porównanie?Daczego porównujemy akurat do średniej i \(\displaystyle{ \frac{1}{n} \sum_{1}^{n} X _{i} ^{2}}\) ??
mkb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 244
Rejestracja: 5 paź 2009, o 16:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 47 razy

metoda momentów

Post autor: mkb »

Założenie jest takie, że moment rzędu k z próby pokrywa się z momentem rzędu k populacji. \(\displaystyle{ m _{k}=E(X^k)=\frac{1}{n} \sum_{1}^{n} X _{i} ^{k}}\) to moment rzędu k próby n-elementowej. Porównujesz ze wzorem na moment rzędu k rozkładu i wyliczasz parametry rozkładu.
valdi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 14 mar 2011, o 17:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 4 razy

metoda momentów

Post autor: valdi »

W sumie ja dalej nie rozumiem tej metody. Możecie powiedzieć w jaki sposób wyznacza się te momenty rozkładu, czyli to:
No i wyzanczamy ze wzoru momenty:
pierwszy moment: \(\displaystyle{ \frac{p}{ \beta }}\)
drugi moment: \(\displaystyle{ \frac{p*(p+1)}{ \beta ^{2} }}\)
Z innego przykładu dla rozkładu \(\displaystyle{ N(m,\sigma^2)}\) momenty są takie:
\(\displaystyle{ m_{1}=m}\)
\(\displaystyle{ m_{2}=\sigma^2+m^2}\)

Skąd to?

Bo porównanie, z tego co widzę na wzorach w książce, czyli do momentów z próby, jest zawsze już później takie samo?
mkb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 244
Rejestracja: 5 paź 2009, o 16:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 47 razy

metoda momentów

Post autor: mkb »

W metodzie momentów zakłada się, że określone momenty próby pokrywają się z odpowiadającymi im momentami rozkładu. W tej metodzie:
1)
Założenia odnośnie rodzaju hipotetycznego rozkładu cechy w populacji trzeba przyjąć, w pierwszym przypadku to rozkład gamma, w drugim (Twoim) normalny. Ich formuły na momenty w funkcji parametrów hipotetycznego rozkładu można policzyć albo wziąć gotowe.
2)
Te formuły porównujemy z rzeczywistymi wartościami momentów próby (albo ogólnie wzorami na moment próby). K-ty moment to formuła uniwersalna, zależna tylko od wartości próby.
3)
Liczymy tyle momentów, ile parametrów ma założony rozkład, aby dostać układ n równań z n niewiadomymi (estymatorami parametrów rozkładu).
Jeżeli rozkład ma 1 parametr (np. rozkład wykładniczy) bierzemy tylko pierwszy moment i dostajemy 1 równanie.
Przy dwóch parametrach (np. gamma, normalny) mamy równania dla dwóch momentów.
Przy trzech parametrach rozkładu (np. przesunięty gamma) bierzemy trzy momenty.
valdi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 14 mar 2011, o 17:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 4 razy

metoda momentów

Post autor: valdi »

Najbardziej zastanawia mnie ten fragment:
Ich formuły na momenty w funkcji parametrów hipotetycznego rozkładu można policzyć albo wziąć gotowe.
Bo rozumiem że to byłaby całka z iloczynu \(\displaystyle{ x^2}\) i gęstości rozkładu normalnego... No to oby nie było tego na kole:D Gotowe mam nadzieję, że będą podane.

Chociaż widzę, że jest też sposób prostszy, o ile zna się funkcję charakterystyczną.
mkb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 244
Rejestracja: 5 paź 2009, o 16:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 47 razy

metoda momentów

Post autor: mkb »

Jeżeli w rozkładzie normalnym podadzą wariancję i wartość oczekiwaną to jaki problem policzyć \(\displaystyle{ m_2=E[X^2]}\)?
\(\displaystyle{ \sigma^2=E[X-EX]^2=E[X^2]-(EX)^2=m_2-m_1^2}\)
valdi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 14 mar 2011, o 17:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 4 razy

metoda momentów

Post autor: valdi »

Kurczę, faktycznie. Dzięki za zwrócenie uwagi na to.
ODPOWIEDZ