Witam!
Mam problem ze zrozumieniem takiego zadania:
Ogólnie chodzi o wyznaczenie estymatora metodą momentów.
Cecha ma rozkład gamma z parametrami:
alfa = p oraz lambda = \(\displaystyle{ \frac{1} \beta {}}\).
No i wyzanczamy ze wzoru momenty:
pierwszy moment: \(\displaystyle{ \frac{p}{ \beta }}\)
drugi moment: \(\displaystyle{ \frac{p*(p+1)}{ \beta ^{2} }}\)
I dalej w książce te momenty są porównane odpowiednio: pierwszy moment do średniej \(\displaystyle{ \frac{ \sum_{1}^{n} X _{i} }{n}}\) oraz drugi moment do \(\displaystyle{ \frac{1}{n} \sum_{1}^{n} X _{i} ^{2}}\).
I z tego są wyznaczone parametry.
Tylko skąd się bierze to porównanie?Daczego porównujemy akurat do średniej i \(\displaystyle{ \frac{1}{n} \sum_{1}^{n} X _{i} ^{2}}\) ??
metoda momentów
-
- Użytkownik
- Posty: 113
- Rejestracja: 1 paź 2008, o 20:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: lbn
- Podziękował: 4 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 244
- Rejestracja: 5 paź 2009, o 16:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 47 razy
metoda momentów
Założenie jest takie, że moment rzędu k z próby pokrywa się z momentem rzędu k populacji. \(\displaystyle{ m _{k}=E(X^k)=\frac{1}{n} \sum_{1}^{n} X _{i} ^{k}}\) to moment rzędu k próby n-elementowej. Porównujesz ze wzorem na moment rzędu k rozkładu i wyliczasz parametry rozkładu.
-
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 14 mar 2011, o 17:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 4 razy
metoda momentów
W sumie ja dalej nie rozumiem tej metody. Możecie powiedzieć w jaki sposób wyznacza się te momenty rozkładu, czyli to:
\(\displaystyle{ m_{1}=m}\)
\(\displaystyle{ m_{2}=\sigma^2+m^2}\)
Skąd to?
Bo porównanie, z tego co widzę na wzorach w książce, czyli do momentów z próby, jest zawsze już później takie samo?
Z innego przykładu dla rozkładu \(\displaystyle{ N(m,\sigma^2)}\) momenty są takie:No i wyzanczamy ze wzoru momenty:
pierwszy moment: \(\displaystyle{ \frac{p}{ \beta }}\)
drugi moment: \(\displaystyle{ \frac{p*(p+1)}{ \beta ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ m_{1}=m}\)
\(\displaystyle{ m_{2}=\sigma^2+m^2}\)
Skąd to?
Bo porównanie, z tego co widzę na wzorach w książce, czyli do momentów z próby, jest zawsze już później takie samo?
-
- Użytkownik
- Posty: 244
- Rejestracja: 5 paź 2009, o 16:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 47 razy
metoda momentów
W metodzie momentów zakłada się, że określone momenty próby pokrywają się z odpowiadającymi im momentami rozkładu. W tej metodzie:
1)
Założenia odnośnie rodzaju hipotetycznego rozkładu cechy w populacji trzeba przyjąć, w pierwszym przypadku to rozkład gamma, w drugim (Twoim) normalny. Ich formuły na momenty w funkcji parametrów hipotetycznego rozkładu można policzyć albo wziąć gotowe.
2)
Te formuły porównujemy z rzeczywistymi wartościami momentów próby (albo ogólnie wzorami na moment próby). K-ty moment to formuła uniwersalna, zależna tylko od wartości próby.
3)
Liczymy tyle momentów, ile parametrów ma założony rozkład, aby dostać układ n równań z n niewiadomymi (estymatorami parametrów rozkładu).
Jeżeli rozkład ma 1 parametr (np. rozkład wykładniczy) bierzemy tylko pierwszy moment i dostajemy 1 równanie.
Przy dwóch parametrach (np. gamma, normalny) mamy równania dla dwóch momentów.
Przy trzech parametrach rozkładu (np. przesunięty gamma) bierzemy trzy momenty.
1)
Założenia odnośnie rodzaju hipotetycznego rozkładu cechy w populacji trzeba przyjąć, w pierwszym przypadku to rozkład gamma, w drugim (Twoim) normalny. Ich formuły na momenty w funkcji parametrów hipotetycznego rozkładu można policzyć albo wziąć gotowe.
2)
Te formuły porównujemy z rzeczywistymi wartościami momentów próby (albo ogólnie wzorami na moment próby). K-ty moment to formuła uniwersalna, zależna tylko od wartości próby.
3)
Liczymy tyle momentów, ile parametrów ma założony rozkład, aby dostać układ n równań z n niewiadomymi (estymatorami parametrów rozkładu).
Jeżeli rozkład ma 1 parametr (np. rozkład wykładniczy) bierzemy tylko pierwszy moment i dostajemy 1 równanie.
Przy dwóch parametrach (np. gamma, normalny) mamy równania dla dwóch momentów.
Przy trzech parametrach rozkładu (np. przesunięty gamma) bierzemy trzy momenty.
-
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 14 mar 2011, o 17:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 4 razy
metoda momentów
Najbardziej zastanawia mnie ten fragment:
Chociaż widzę, że jest też sposób prostszy, o ile zna się funkcję charakterystyczną.
Bo rozumiem że to byłaby całka z iloczynu \(\displaystyle{ x^2}\) i gęstości rozkładu normalnego... No to oby nie było tego na kole:D Gotowe mam nadzieję, że będą podane.Ich formuły na momenty w funkcji parametrów hipotetycznego rozkładu można policzyć albo wziąć gotowe.
Chociaż widzę, że jest też sposób prostszy, o ile zna się funkcję charakterystyczną.
-
- Użytkownik
- Posty: 244
- Rejestracja: 5 paź 2009, o 16:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 47 razy
metoda momentów
Jeżeli w rozkładzie normalnym podadzą wariancję i wartość oczekiwaną to jaki problem policzyć \(\displaystyle{ m_2=E[X^2]}\)?
\(\displaystyle{ \sigma^2=E[X-EX]^2=E[X^2]-(EX)^2=m_2-m_1^2}\)
\(\displaystyle{ \sigma^2=E[X-EX]^2=E[X^2]-(EX)^2=m_2-m_1^2}\)