Liczba awarii pewnej maszyny ma rozkład Poissona. Maszyna ulega awarii przeciętnie 1 raz w ciągu miesiąca. Obliczyć prawdopodobieństwo, że maszyna
a) w pewnym miesiącu nie ulegnie awarii ani razu,
b) nie ulegnie awarii ani razu w ciągu półrocza,
c) w ciągu roku ulegnie awarii nie więcej niż raz.
Rozkład Poissona
-
szw1710
Rozkład Poissona
\(\displaystyle{ X}\) - liczba awarii w ciągu miesiąca
\(\displaystyle{ p_k=P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}\text{e}^{-\lambda}}\)
W rozkładzie Poissona zawsze jest \(\displaystyle{ EX=\lambda}\). Z danych zadania jest \(\displaystyle{ EX=1}\), więc \(\displaystyle{ \lambda=1}\) i ostatecznie nasza zmienna losowa ma rozkład \(\displaystyle{ (k,p_k)}\), gdzie, jw., \(\displaystyle{ k}\) oznacza liczbę awarii w ciągu miesiąca oraz
\(\displaystyle{ p_k=P(X=k)=\frac{\text{e}^{-1}}{k!}=\frac{1}{\text{e}\cdot k!}}\).
a) \(\displaystyle{ p_0=\frac{1}{\text{e}0!}=\frac{1}{\text{e}}\approx 0.3679}\)
b), c) Nie jestem jeszcze pewny jaki model stosować. Czy niejako "okresem rozliczeniowym" byłby jeden miesiąc i potraktować sprawę jako zdarzenia niezależne (w b) 6 prób, każda w jednym miesiącu), czy też policzyć nowy rozkład Poissona w odniesieniu do półrocza (roku w c)) z nowym parametrem \(\displaystyle{ \lambda}\). Dla półrocza byłoby średnio \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\) awarii? Więc w takim podejściu trzeba zastosować inny model niż w a).
b) W obu proponowanych podejściach wychodzi \(\displaystyle{ \frac{1}{\text{e}^6}}\)
c) Wobec tego będzie się robić podobnie - spróbuj.
\(\displaystyle{ p_k=P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}\text{e}^{-\lambda}}\)
W rozkładzie Poissona zawsze jest \(\displaystyle{ EX=\lambda}\). Z danych zadania jest \(\displaystyle{ EX=1}\), więc \(\displaystyle{ \lambda=1}\) i ostatecznie nasza zmienna losowa ma rozkład \(\displaystyle{ (k,p_k)}\), gdzie, jw., \(\displaystyle{ k}\) oznacza liczbę awarii w ciągu miesiąca oraz
\(\displaystyle{ p_k=P(X=k)=\frac{\text{e}^{-1}}{k!}=\frac{1}{\text{e}\cdot k!}}\).
a) \(\displaystyle{ p_0=\frac{1}{\text{e}0!}=\frac{1}{\text{e}}\approx 0.3679}\)
b), c) Nie jestem jeszcze pewny jaki model stosować. Czy niejako "okresem rozliczeniowym" byłby jeden miesiąc i potraktować sprawę jako zdarzenia niezależne (w b) 6 prób, każda w jednym miesiącu), czy też policzyć nowy rozkład Poissona w odniesieniu do półrocza (roku w c)) z nowym parametrem \(\displaystyle{ \lambda}\). Dla półrocza byłoby średnio \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\) awarii? Więc w takim podejściu trzeba zastosować inny model niż w a).
b) W obu proponowanych podejściach wychodzi \(\displaystyle{ \frac{1}{\text{e}^6}}\)
c) Wobec tego będzie się robić podobnie - spróbuj.
Rozkład Poissona
szw1710 dziękuję bardzo.
Ja robiłem tak:
a) \(\displaystyle{ P(A) = P(X = 0) = e ^{-1} \frac{1 ^{0} }{0!} = e ^{-1}}\) .
b) \(\displaystyle{ P(B) = P(X = 6) = [P(X = 0)] ^{6} = (e ^{-1}) ^{6} = e ^{-6}}\) .
Czyli wyniki otrzymałem takie, jak Ty wyżej.
c) Tu mam jednak problem.
szw1710 proszę rozpisać swój pomysł.
Ja robiłem tak:
a) \(\displaystyle{ P(A) = P(X = 0) = e ^{-1} \frac{1 ^{0} }{0!} = e ^{-1}}\) .
b) \(\displaystyle{ P(B) = P(X = 6) = [P(X = 0)] ^{6} = (e ^{-1}) ^{6} = e ^{-6}}\) .
Czyli wyniki otrzymałem takie, jak Ty wyżej.
c) Tu mam jednak problem.
szw1710 proszę rozpisać swój pomysł.
Ostatnio zmieniony 27 mar 2011, o 21:51 przez tomi1912, łącznie zmieniany 2 razy.
-
szw1710
Rozkład Poissona
b) Czyli zastosowałeś model prób niezależnych w "miesięcznym okresie rozliczeniowym".
c) Wiesz, ja nie jestem ekspertem z probabilistyki i dalej nie jestem pewny modelu. Ale stosując podobny model zdarzeń niezależnych mielibyśmy tak: sukces - maszyna ulegnie awarii w ciągu miesiąca i jego prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ p=1-\frac{1}{\text{e}}}\). Teraz mamy uzyskać w 12 próbach niezależnych (Bernoulli'ego) co najwyżej jeden sukces. Więc tu zastosowałbym schemat Bernoulli'ego.
c) Wiesz, ja nie jestem ekspertem z probabilistyki i dalej nie jestem pewny modelu. Ale stosując podobny model zdarzeń niezależnych mielibyśmy tak: sukces - maszyna ulegnie awarii w ciągu miesiąca i jego prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ p=1-\frac{1}{\text{e}}}\). Teraz mamy uzyskać w 12 próbach niezależnych (Bernoulli'ego) co najwyżej jeden sukces. Więc tu zastosowałbym schemat Bernoulli'ego.
Rozkład Poissona
Tak, w b) wykorzystałem definicję zdarzeń niezależnych.
Jednak w c) model Bernoulliego z Twoim p nie sprawdza się...
-- 27 mar 2011, o 21:18 --
c) Przyjmując \(\displaystyle{ \lambda}\)= 12 otrzymuję:
P(C) = P(X = 0) + P(X = 1) = \(\displaystyle{ e ^{-12}}\) \(\displaystyle{ \frac{12 ^{0} }{0!}}\) + \(\displaystyle{ e ^{-12}}\) \(\displaystyle{ \frac{12 ^{1} }{1!}}\) = \(\displaystyle{ e ^{-12}}\) + \(\displaystyle{ 12e ^{-12}}\) = \(\displaystyle{ 13e ^{-12}}\).
Ale jak prawidłowo uzasadnić wartość parametru \(\displaystyle{ \lambda}\)?
Jednak w c) model Bernoulliego z Twoim p nie sprawdza się...
-- 27 mar 2011, o 21:18 --
c) Przyjmując \(\displaystyle{ \lambda}\)= 12 otrzymuję:
P(C) = P(X = 0) + P(X = 1) = \(\displaystyle{ e ^{-12}}\) \(\displaystyle{ \frac{12 ^{0} }{0!}}\) + \(\displaystyle{ e ^{-12}}\) \(\displaystyle{ \frac{12 ^{1} }{1!}}\) = \(\displaystyle{ e ^{-12}}\) + \(\displaystyle{ 12e ^{-12}}\) = \(\displaystyle{ 13e ^{-12}}\).
Ale jak prawidłowo uzasadnić wartość parametru \(\displaystyle{ \lambda}\)?