estymator wariancji

[horrorschau]

Witam!
Natknąłęm się w książce na zadanie, w którym w pewnym momencie jest przekształcenie:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \left[ ( X_{i}-a) +(a- \pi )\right]^{2} = \sum_{i=1}^{n}( X_{i}-a)^{2} - ( \pi -a)^{2}}\)

I tu moje pytanie:
Jak to się stało??

[Kamil_B]

Wiadomo coś więcej o \(\displaystyle{ X_{i}}\) ? Nie brakuje tutaj przypadkiem jakiejś wartości oczekiwanej ?
Najlepiej podaj cały kontekst.

[horrorschau]

Tam przed sumą powinno być jescze \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\)
W tresci zadanie jest:
Niech X1, X2... będą próbą pobrana z populacji, w której cecha X ma skończoną i różną od 0 wariancję.
I mamy zbadać czy wariancja empiryczna jest estymatorem nieobciążonym nieznanej wariancji.
Jest to przykład z książki Krysickiego.
A no i "a" oznacza wartość oczekiwaną, przepraszam że nie podałem odrazu.

[Kamil_B]

Zamiast \(\displaystyle{ \pi}\) nie powinna się tam pojawić przypakiem średnia próbkowa \(\displaystyle{ \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}X_{k}}\) ?
Wtedy to wyrazenie miałoby jakiś sens, bo teraz to nie bardzo.

[horrorschau]

tak,przepraszam, pi oznacza tam średnią oczywiście.

[Kamil_B]

Trzeba po prostu rozpisać \(\displaystyle{ \left( ( X_{i}-EX_{i}) +(EX{i}- \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}X_{k}) \right) ^{2}}\) i poskracać co się da.