rozkład normalny, wzrost w małżeństwie

[pimp]

Wzrost dorosłych mężczyzn w kraju ma rozkład N(175cm,8cm) a wzrost dorosłych kobiet ma rozkłąd N(165cm,5cm). Jakie ejst prawdopodobieństwo ,że w losowo wybranych małżeństwie mężczyzna jest mniej niż 5 cm wyższy od żony?

[pyzol]

\(\displaystyle{ X}\) - wzrost mężczyzny
\(\displaystyle{ Y}\) - wzrost kobiety
Interesuje nas zmienna losowa:
\(\displaystyle{ Z=X-Y}\)
A dokładniej prawdopodobieństwo:
\(\displaystyle{ P(Z<5)}\)
Najpierw rozkład zmiennej losowej Z:
\(\displaystyle{ Z\sim \mathcal{N}(175-165,5+8)\\
Z\sim \mathcal{N}(10,13)}\)
Mamy obliczyć
\(\displaystyle{ P(Z<5)=P(Z-10<-5)=P(\frac{Z-10}{\sqrt{13}}<-\frac{5}{\sqrt{13}})}\)
Nie będę się pozbywał niewymierności, reszta idzie tak:
\(\displaystyle{ \frac{Z-10}{\sqrt{13}} \sim \mathcal{N}(0,1)}\)
Teraz łapiesz tablice z dystrybuantą i szukasz wartości dla \(\displaystyle{ -\frac{5\sqrt{13}}{13}\approx ...}\)