Proces Poissona

[Bonar]

Mam takie zadanie:
Niech \(\displaystyle{ X(t)}\) będzie procesem Poissona oraz dany jest proces \(\displaystyle{ Y(t)=e^{X(t)}}\). Obliczyć \(\displaystyle{ E[Y(t)]}\) oraz \(\displaystyle{ K_{Y}(t_{1}, t_{2})}\).
Jeśli ktoś pomógłby mi to rozwiązać byłbym bardzo wdzięczny.

[Yaco_89]

Niech \(\displaystyle{ \lambda}\) będzie intensywnością procesu Poissona X. Wtedy X(t) ma rozkład Poissona z parametrem \(\displaystyle{ \lambda t}\). Dalej mamy
\(\displaystyle{ E[Y(t)]=E[e^{X(t)}]= \sum_{k=0}^{ \infty }e^k \cdot P(X(t)=k)= \sum_{k=0}^{ \infty }e^k \cdot \frac{(\lambda t)^k \cdot e^{-\lambda}}{k!}=\sum_{k=1}^{ \infty } \frac{((\lambda t)\cdot e)^k \cdot e^{-(\lambda t) \cdot e} \cdot e^{(\lambda-1)e \cdot t}}{k!}=e^{(\lambda-1)e \cdot t}\sum_{k=1}^{ \infty } \frac{(\lambda \cdot e \cdot t)^k \cdot e^{-(\lambda \cdot e \cdot t})}{k!}= e^{(\lambda-1)e \cdot t} \cdot \lambda \cdot t \cdot e}\)
gdyż ostatnia suma jest wartością oczekiwaną rozkładu Poissona z parametrem \(\displaystyle{ lambda cdot e cdot t/tex]

Z kolei
\(\displaystyle{ K_Y(t_1,t_2)=Cov[Y(t_1),Y(t_2)]=E[Y(t_1)Y(t_2)]-E[Y(t_1)]E[Y(t_2)]}\)
\(\displaystyle{ E[Y(t_1)]}\) oraz \(\displaystyle{ E[Y(t_2)]}\)potrafimy policzyć jak w poprzednim przykładzie, żeby policzyć wartość oczekiwaną z iloczynu trzeba chyba coś pokombinować z przyrostami.}\)

[Bonar]

Wielkie dzięki za pierwszy podpunkt, ale nie bardzo rozumiem skąd się wziął ten iloczyn w drugim. Czy \(\displaystyle{ K_{Y}( t_{1}, t_{2})}\) nie rozwija się:
\(\displaystyle{ K_{Y}( t_{1}, t_{2}) = E{[X( t_{1})-m_{X}(t_{1})][X( t_{2})-m_{X}(t_{2})]}\) gdzie \(\displaystyle{ m_{X}(t) = E[X(t)]}\)?
Przynajmniej takie coś znalazłem w podręczniku, może to nie o to chodzi...

[Yaco_89]

Jest ok, to co podałeś to "bazowa" definicja kowariancji, ja skorzystałem ze znanego wzoru który można wyprowadzić z tej definicji a jest często prostszy w użyciu.

[Bonar]

No to zrobi się z tego:

\(\displaystyle{ K_{Y}( t_{1}, t_{2}) = E([Y( t_{1})-E[Y(t_{1})]]\cdot[Y( t_{2})-E[X(t_{2})]]) =}\)

\(\displaystyle{ = E[(Y(t_{1} ) - e^{(\lambda-1)e \cdot t_{1} } \cdot \lambda \cdot t_{1} \cdot e)\cdot(Y(t_{2} ) - e^{(\lambda-1)e \cdot t_{2} } \cdot \lambda \cdot t_{2} \cdot e)] =}\)

\(\displaystyle{ = E[(\frac{(\lambda t_{1} )^k \cdot e^{-\lambda}}{k!}- e^{(\lambda-1)e \cdot t_{1} } \cdot \lambda \cdot t_{1} \cdot e)\cdot (\frac{(\lambda t_{2} )^k \cdot e^{-\lambda}}{k!}- e^{(\lambda-1)e \cdot t_{2} } \cdot \lambda \cdot t_{2} \cdot e)]}\)

Tylko idzie teraz jakoś skrócić ten wielki iloczyn? Jakoś wątpię żeby wymnażanie tego było dobrym pomysłem.