Zadanie jest następujące:
Obserwujemy pojedynczą zmienną losową \(\displaystyle{ X}\) z rozkładu o gęstości
\(\displaystyle{ f_{\theta}(x)= \begin{cases} {\theta}e^{-x}+2(1-\theta)e^{-2x} & \mbox{dla } x \ge 0; \\ 0 & \mbox{dla } x < 0, \end{cases}}\)
gdzie \(\displaystyle{ \theta\in[0,1]}\) jest nieznanym parametrem.
(a) Skonstruuj jednostajnie najmocniejszy test na poziomie istotności \(\displaystyle{ \alpha = 0.05}\) do weryfikacji hipotezy zerowej \(\displaystyle{ H_0\,:\,\theta=0}\) przeciwko hipotezie alternatywnej \(\displaystyle{ H_1 \,:\,\theta > 0.}\)
(b) Oblicz funkcję mocy (OC) tego testu.
Mój sposób rozwiązywania:
Najpierw znaleźć najmocniejszy test na poziomie istotności 0.05 do weryfikacji hipotezy \(\displaystyle{ H_0}\) przeciwko hipotezie alternatywnej \(\displaystyle{ H_2\,:\,\theta=\theta_1,}\) gdzie \(\displaystyle{ \theta_1}\) jest dowolną ustaloną liczbą większą od 0. Zrobić to za pomocą lematu Neymana-Pearsona. Następnie powiedzieć, że ten test jest też jednostajnie najmocniejszy przeciwko hipotezie \(\displaystyle{ H_1,}\) co wynika z dowolności \(\displaystyle{ \theta_1>0}\) i prostego (i dozwolonego) przestawienia kwantyfikatorów ogólnych.
Problem:
W rachunkach powstają komplikacje, które mnie niepokoją. Obawiam się, że coś źle robię. Słaby jestem z tego i niepewny siebie niestety. A może i stety.
Rachunki:
Mamy
\(\displaystyle{ f_0(x)=\begin{cases} 2e^{-2x} & \mbox{dla } x \ge 0; \\ 0 & \mbox{dla } x < 0, \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ f_2(x)=\begin{cases} {\theta}_{1}e^{-x}+2(1-\theta_1)e^{-2x} & \mbox{dla } x \ge 0; \\ 0 & \mbox{dla } x < 0, \end{cases}}\)
gdzie \(\displaystyle{ \theta_1\in(0,1].}\)
Iloraz wiarygodności, określony dla \(\displaystyle{ x\ge0,}\) jest postaci:
\(\displaystyle{ \frac{f_2(x)}{f_0(x)}=\frac{2e^{-2x}}{{\theta}_{1}e^{-x}+2(1-\theta_1)e^{-2x}}}\)
Z lematu N-P wiemy, że należy szukać obszaru krytycznego testu postaci:
\(\displaystyle{ K^*=\left\{x\ge0\,:\,\frac{2e^{-2x}}{{\theta}_{1}e^{-x}+2(1-\theta_1)e^{-2x}}>c\right\},}\)
gdzie \(\displaystyle{ c>0}\) jest pewną stałą, którą należy odpowiednio dobrać do poziomu istotności.
Ma być
\(\displaystyle{ 0.05=\mathbb{P}_0\left(\left\{x\ge0\,:\,\frac{2e^{-2x}}{{\theta}_{1}e^{-x}+2(1-\theta_1)e^{-2x}}>c\right\}\right)=\mathbb{P}_0\left(\left\{x\ge0\,: 2e^{-2x}\left[1-c(1-\theta_1)\right]>\theta_{1}ce^{-x}\right\}\right)=\mathbb{P}_0\left(\left\{x\ge0\,: e^{-x}\left[1-c(1-\theta_1)\right]>\frac{1}{2}\theta_{1}c\right\}\right).}\)
Tu mam problem. Żeby wyznaczyć \(\displaystyle{ x}\) z tej nierówności potrzebuję podzielić przez \(\displaystyle{ \left[1-c(1-\theta_1)\right],}\) a jeśli się nie mylę, nie mogę znać znaku tego wyrażenia, czyli muszę rozpatrzyć dwa przypadki. Zadanie jest z egzaminu i myślę, że nie powinno w nim być takich rachunkowych zagwozdek, więc boję się, że coś źle robię. Proszę o sprawdzenie i komentarz.