dystrybuanta, gęstość, prawdopodobieństwa

[pimp]

mamy podaną f(x) która jest gęstością zmiennej losowej

\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} 0 dla x<0\\cx dla 0 \le x \le 4 \\ 0 dla x >4\end{cases}}\)
mamy znaleźć parametr c (wychodzi \(\displaystyle{ c= \frac{1}{8}}\)

wyznaczyć dystrybuantę:
\(\displaystyle{ F(a)= P(X<a)= \begin {cases} 0 dla x<0\\ \frac{x ^{2} }{16} dla x \in <0,4> \\ 0 dla x >4\end{cases}}\)

obliczyć prawdopodopieństwo
\(\displaystyle{ P(X=1)=0 ??}\)
\(\displaystyle{ P(2<x<8)= F(8)- F(2)= \frac{60}{16}}\)
\(\displaystyle{ P(X>0,75)= \int_{0,75}^{4} f(x)dx= \frac{247}{256}}\) (bo powyżej 4 jest równa 0?)
\(\displaystyle{ P(X=7)=0??}\)

\(\displaystyle{ E(X)=}\) (czy E(X) to to samo co EX?) \(\displaystyle{ \int_{0}^{4}xf(x)dx= 8}\)

\(\displaystyle{ D ^{2} (X)}\)(czy to to samo co D^2X) \(\displaystyle{ =}\)i tu nie wiem z którego wzoru skorzystać? z \(\displaystyle{ \int_{R}(X-EX) ^{2} f(x)dx}\) - jeśli tak to co podstawić pod X?
albo \(\displaystyle{ E(X ^{2} ) - (EX) ^{2}}\)- ale tu mi wychodzi ujemne?

proszę o sprawdzenie i pomoc, z góry dziękuję

[pyzol]

Źle policzyłaś wartość oczekiwaną, chyba zapomniałaś o c=1/8. Dystrybuanta wynosi 1 dla x większych od 4.
\(\displaystyle{ F(8)-F(2)=1-\frac{4}{16}}\)

[pimp]

\(\displaystyle{ EX= \int_{R}xf(x)dx= \int_{- \infty }^{0}x \cdot 0 dx + \int_{0}^{4} x \cdot \frac{1}{8}dx + \int_{4}^{+ \infty } x \cdot 0= \left[ \frac{x^{3}}{3 \cdot 8} \right] ^{4} _{0} = \frac{64}{24} ??}\)

dlaczego dystrybuanta jest równa 1 dla x>4? to w takim razie jak się to liczy? Myślałam,że obliczamy tylko całki z wartości (dla gęstości) dla odpowiednich przedziałów?

jeśli chodzi o ostatnie to dlatego,że nie umiem policzyć dystrybuany dla x>4? bo jeżeli mamy F(8) to podkładamy dystrybuantę z przedziału x>4 a nie 0<x<4 ?

[pyzol]

Teraz wariancja powinna Ci wyjść już dodatnia. Musisz policzyć:
\(\displaystyle{ \int x^2 f(x)dx}\)
Prawie dobrze myślałaś napiszę dłużej ten wzorek
\(\displaystyle{ F(t)=P(X<t)=\int_{-\infty}^t f(x)dx}\)
Więc zdarzyć się może, że rozbijesz to na 3 całki z których 2 będą równe zeru.
A tak na chłopski rozum
\(\displaystyle{ P(X<8)}\)
Prawdopodobieństwo, że nasza liczba będzie mniejsza od 8 jest pewne, bo maszyna losuje z przedziału [0,4].

[pimp]

i jeszcze wymyśliłam coś takiego,aby obliczyć wariancję:

\(\displaystyle{ D ^{2}X= E(X ^{2}) - (EX) ^{2} = \int_{R} x \cdot x \cdot f(x) - (EX) ^{2} = \int_{0}^{4} x ^{2} \cdot \frac{1}{8}dx - (EX) ^{2}}\)
wpisałam przedział całki od 0 do 4 ,bo zakładam,że w innych przedziałam całka jest równa 0.
Czy w tym jest cokolwiek poprawnie?

-- 9 lut 2011, o 00:23 --

właśnie nie mogę zrozumieć dlaczego w tym wzorze jest przedział od \(\displaystyle{ - \infty}\) do \(\displaystyle{ t}\) skoro potem rozbijamy to na całki,z których jedna ma przedział od minus nieskończoność do 0, druga od 0 do 4 i trzecia od 4 do plus nieskończoność(dwie skrajne są równe 0).

hm, czyli jeśli chodzi o tą dystrybuantę to \(\displaystyle{ F(a)= \int_{4}^{+ \infty }0dx}\) ale dalej mi wychodzi zero, tego jednego nie mogę zrozumieć-- 9 lut 2011, o 00:28 --

\(\displaystyle{ P(X<8)}\)
Prawdopodobieństwo, że nasza liczba będzie mniejsza od 8 jest pewne, bo maszyna losuje z przedziału [0,4].

jednak tego też nie rozumiem. Jak to losuje tylko z tego przedziału. lepiej bym zrozumiała, gdyby to było na tej zasadzie,że w końcu uda mi się wyliczyć dystrybuantę dla przedziału <0,4> (czyli magiczna jedynka), i skoro \(\displaystyle{ P(2<x<8)= F(8)-F(2)=}\) dystrybuanta dla przedziału \(\displaystyle{ x \in (4,+ \infty )}\) minus dystrybuanta dla \(\displaystyle{ 0 \le x \le 4}\)

[pyzol]

Już piszę.

-- 8 lut 2011, o 23:52 --

Jeśli chodzi o wariancję to zgubiłaś x przy gęstości. reszta jest ok. Znaczy tok rozumowania.
Oczywiście \(\displaystyle{ \mathcal{E}X}\) masz już policzone, więc \(\displaystyle{ (\mathcal{E}X)^2}\) to nie problem.
\(\displaystyle{ P(X<t)}\)
dla t>4 oczywiście, bo reszta jest ok. Na przedziały rozbijamy bo gęstość określona jest w nich innym wzorem.
\(\displaystyle{ \int_{-\infty} ^t f(x)dx=\int_{-\infty} ^0 0 dx+\int_0 ^4 \frac{x}{8}dx +\int_4^t 0 dx=\\
0+1+0=1}\)
gra?
Czyli F(8)=1.

[pimp]

wyznaczyć dystrybuantę:
\(\displaystyle{ F(a)= P(X<a)= \begin {cases} 0 dla x<0\\ \frac{x ^{2} }{16} dla x \in <0,4> \\ 0 dla x >4\end{cases}}\)

czyli to jest ok? (ostatnia linijka?)


gra, bardzo dziękuję. czyli P(X<8)=1 i P(X=7) też = 1?:)-- 9 lut 2011, o 01:06 --nie, jednak nie gra, nie rozumiem tej zakichanej jedynki i prawdopodobieństw, dlaczego w tym ostatnim przedziale dystrybuanta jest równa jeden skoro w pierwszym przedziale jest rowna 0,ale już trudno, jeszcze pomyśle nad tym. I tak dziękuję za pomoc

[pyzol]

F(a)=1 dla x>4, ostatnia linijka tak wygląda. Natomiast:
\(\displaystyle{ P(X=a)=0}\)
Nie wiem jak to konkretnie wytłumaczyć. Najlepiej podstawić pod całkę:
\(\displaystyle{ \int_a^a f(x)dx=0}\)
Wyjdzie 0.
Ale to nie tak do końca chodzi.
Chodzi tu bardziej o rodzaj rozkładu (ciągły, dyskretny)

[pimp]

Tak tak to drugie rozumiem, ale dalej ciezko mi zalapac czemu ta dystrybuanta jest rowna jeden a nie zero w ostatnim przedziale skoro calkujemy f(x)=0.. No ale moze to przez pozna pore ,mozg juz tak nie pracuje sprawnie:))

[pyzol]

Ale ja Ci to już liczyłem, całkujesz od minus nieskończoności do na przykład 8, i przechodzisz przez przedział w którym ta gęstość jest różna od zera jeszcze raz kopiuję, żebyś szukać nie musiała
\(\displaystyle{ \int_{-\infty} ^t f(x)dx=\int_{-\infty} ^0 0 dx+\int_0 ^4 \frac{x}{8}dx +\int_4^t 0 dx=0+1+0=1}\)

[pimp]

oj no tak, już rozumiem:)nie mogłam zaczaić,że przecież dla pierwszego przedziału to jest tylko całka z f(x) dla pierwszego przedziału, dla drugiego przedziału dystrybuanta to przecież całka z pierwszego przedziału plus z drugiego i dla trzeciego przedziału analogicznie:)) teraz jasne:) dziękuję jeszcze raz:)