Proces stochastyczny, obliczyc E[Y(t)] oraz Ky(t1,t1)

[ss314159]

Witam mam takie oto zadanie :

Jeśli \(\displaystyle{ Y(t) = t^2 \frac{d}{dt}X(t)+2}\), gdzie \(\displaystyle{ X(t)}\) jest procesem stochastycznym
o parametrach \(\displaystyle{ E[X(t)] = 2t+5}\) oraz \(\displaystyle{ K_X(t1,t2) = e^{\alpha (t_1+t_2)}}\). Obliczyc \(\displaystyle{ E[Y(t)]}\) oraz \(\displaystyle{ K_Y(t_1,t_2)}\).

Oczywiście \(\displaystyle{ K_Y(t_1,t_2) = E[Y(t_1)Y(t_2)]-E[Y(t_1)]E[Y(t_2)]}\). Podstawiając dane z zadania otrzymujemy po kilku przekształceniach \(\displaystyle{ K_Y(t_1,t_2) = t_1^2t_2^2E[\frac{d}{dt}X(t_1)\frac{d}{dt}X(t_2)] + 4(t_1^2+t_2^2)}\).
Wydaje mi się ze ostatnim krokiem jest wykorzystanie podanej funkcji autokowariancji \(\displaystyle{ K_X(t_1,t_2)}\), jednak nie wiem jak doprowadzić \(\displaystyle{ E[\frac{d}{dt}X(t_1)\frac{d}{dt}X(t_2)]}\) do postaci w stylu \(\displaystyle{ E[X(t_1)X(t_2)]}\), która pozwoli skorzystać z \(\displaystyle{ K_X(t_1,t_2)}\).

Z góry dziękuję za odpowiedz!

Pozdrawiam

[ss314159]

Poradziłem sobie z zadaniem, proszę o zamknięcie tematu.

Pozdrawiam