Udowadnij, że wzory są równoważne

[Aga2909]

Wiadomo, że wariancję zestawu danych \(\displaystyle{ x_1, x_2,..., x_n}\) możemy obliczyć ze wzoru
\(\displaystyle{ s^{2}= \frac{(x_1 - x_s) ^{2}+(x_2 - x_s) ^{2} +...+ (x_n - x_s) ^{2} }{n}}\)
lub ze wzoru
\(\displaystyle{ s ^{2}= \frac{x_1 ^{2}+x_2 ^{2} +...+x_n ^{2} }{n}-(x_s) ^{2}}\)
gdzie \(\displaystyle{ x_s}\) jest średnią arytmetyczną liczb \(\displaystyle{ x_1, x_2,...,x_n}\).
udowodnij, że wzory są równoważne.

[Afish]

Rozpisz pierwszy wzór i dojdź do drugiego.

[epicka_nemesis]

\(\displaystyle{ Var(X)=E[(X-E(X))^{2}]=E[X^{2}-2XE(X)+[E(X)]^{2}]=E(X^{2})-E[2XE(X)]+[E(X)]^{2}=E(X^{2})-2E(X)E(X)+[E(X)]^{2}=E(X^{2})-2[E(X)]^{2}+[E(X)]^{2}=E(X^{2})-[E(X)]^{2}}\)
gdzie E(X) to wartość oczekiwana czyli średnia z X