zmienna losowa dwuwymiarowa

[wariusz]

Witam muszę rozwiązać zadanie:
zmienna losowa ma rozkład ciągły o funkcji gęstość:

\(\displaystyle{ f(x,y)= \begin{cases} xy - dla 0\le x \le 2 , 0\le y \le 2 \\ 0 - dla - pozostałych - x,y \end{cases}}\)

a) wyznaczyć wartość dystrybuanty F(1,3)
b) wyznaczyć gęstości brzegowe fx , fy oraz sprawdzić czy zmienne są niezależne
c) obliczyć współczynnik korelacji
d) obliczyć EX, EY, VarX, VarY

jeśli chodzi o a) to
\(\displaystyle{ F(1,3)= \int_{0}^{1}dx \int_{0}^{1}xydy = \int_{0}^{1}x \frac{ y^{2} }{2}dx| \frac{1}{0}=
\int_{0}^{1} \frac{x}{2}dx= \frac{ x^{2} }{4}| \frac{1}{0}= \frac{1}{4}}\)
nie jestem pewien czy to jest dobrze policzone ponieważ wartość dystrybuanty jest dla 1,3 a trójka (dla y)jest poza przedziałem całowanie czy wówczas podaje cały przedział czyli od 0 do 1 (oczywiście dla wartości y) ?

w b)
\(\displaystyle{ f(x)= \int_{0}^{1}xydy=x \frac{ y^{2} }{2}| \frac{1}{0}= \frac{x}{2}}\)
\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{0}0dy=0}\)
\(\displaystyle{ \int_{1}^{ \infty }0dy=0}\)
czyli
\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} \frac{x}{2} dla 0\le x \le 2 \\ 0 dla pozostałych\end{cases}}\)
oczywiście analogicznie dla f(y) ale czy wszystko jest ok

oczywiście będę wdzięczny za pomoc.

[miodzio1988]

a) A nie lepiej wyznaczyć najpierw dystrybuantę, a potem podstawić? Wzór podobny do tego co dla zmiennej losowej.

\(\displaystyle{ x \frac{ y^{2} }{2}| \frac{1}{0}= \frac{x}{2} \int_{- \infty }^{0}0dy}\)

ta równość jest skąd niby?

[wariusz]

to co napisałeś to kolejne całki już poprawione. Można policzyć dystrybuantę i potem jej wartość ale tak chyba też można.

[miodzio1988]

Można policzyć dystrybuantę i potem jej wartość ale tak chyba też można.

Można. Tylko trzeba to zrobić poprawnie. Jeszcze raz polecam zerkać na przypadek 1-wymiarowy.

[wariusz]

\(\displaystyle{ F(a,b)= \int_{- \infty }^{a} \int_{- \infty }^{b}xydxdy= \int_{0}^{a} \int_{0}^{b}xydxdy= \int_{0}^{b}y \frac{ x^{2} }{2}dy| \frac{a}{0}=\int_{0}^{b}y \frac{ a^{2} }{2}dy= \frac{ y^{2} }{2}\frac{ a^{2} }{2}| \frac{b}{0}= \frac{ a^{2} ^{} b^{2} }{4}}\)
a wówczas
\(\displaystyle{ F(1,3)= \frac{9}{4}}\) ale dystrybuanta jest z przedziału <0;1> więc jest źle

-- 20 grudnia 2010, 23:16 --

czy dystrybuanta F(1,3) w tym wypadku jest równa F(1,1) ponieważ 3 jest w przedziale gdzie f(x,y)=0
??-- 20 grudnia 2010, 23:20 --Czy ostatnia moja odwiedź to dobry pomysł.??