xiikzodz pisze:Ten funkcjonał jest stały na pewnym zbiorze homeomorficznym z okręgiem.
Możesz to bardziej umotywować?
Ideę wyczuwam, na podanym zbiorze średnia jest 0, wariancja 0.25, a z tej stałości będą identyczne trzecie momenty. Oczywiście robiąc to dla zbiorów dwuelementowych mamy tylko dwie próbki \(\displaystyle{ (1,-1)}\) i \(\displaystyle{ (-1,1)}\), więc w gruncie rzeczy to samo. Czy z podobnego powodu próbki 3-elementowe są za małe?
Nie potrafię pokazać, że 3-elementowe są za małe, ale jeśli takie istnieją, to jest ich skończenie wiele z dokładnością do jednokładności. Wśród próbek 4-elementowych mamy wybór mocy continuum.
Niech \(\displaystyle{ f:S^3\to\mathbb{R}}\) będzie ciągłym funkcjonałem. Jeśli \(\displaystyle{ f}\) jest stały, to teza gotowa. Jeśli nie, to rozważamy dwa punkty \(\displaystyle{ x_1, x_2}\) takie, że \(\displaystyle{ f(x_1)>f(x_2)}\) oraz wybierzmy jakąś liczbę \(\displaystyle{ r\in(x_1,x_2)}\) np. \(\displaystyle{ r=\frac{x_1+x_2}2}\). Oznaczmy \(\displaystyle{ T=f^{-1}(r)}\). Przestrzeń \(\displaystyle{ S^3\setminus T}\) nie jest łukowo spójna, bo na każdej drodze łączącej punkty \(\displaystyle{ x_1,x_2}\) znajdziemy punkt ze zbioru \(\displaystyle{ T}\) na mocy Darboux. Ta przestrzeń nie jest więc spójna, bo jest Hausdorffa. Jedna ze składowych spójności zbioru \(\displaystyle{ T}\) również rozspójnia sferę, bo T jest zwarty więc jego składowych jest skończenie wiele i gdyby żadna nie rozspójniała sfery, \(\displaystyle{ T}\) byłby ściągalny w przestrzeni \(\displaystyle{ S^3\setminus\{x_1,x_2\}}\). Jest to również składowa łukowej spójności (Hausdorff), zatem zbiór \(\displaystyle{ T}\) zawiera pewną krzywą zamkniętą , czyli krzywą homeomorfinczną z okręgiem.
(Nieco prościej ten argument wygląda przy użycie homotopii: ściagamy \(\displaystyle{ T}\) w okrąg wielki, następnie podnosimy ten okrąg.)
