Oblicz wartość oczekiwaną i modę | Zm. l. ciągła
-
- Użytkownik
- Posty: 12
- Rejestracja: 14 gru 2010, o 15:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
Oblicz wartość oczekiwaną i modę | Zm. l. ciągła
Uczę się tych zadań sam w domu i nie mam praktycznie dobrego przykładu rozwiązywania tych zadań.
Po długim szukaniu wiadomości na ten temat próbuje rozwiązać takie zadanie:
Dla jakiej wartości parametru c funkcja:
\(\displaystyle{ f(x) = \left\{\begin{array}{l} cx^2, 0 \le x \le 3\\0, p.p \end{array}}\)
jest gęstością prawdopodobieństwa pewnej zmiennej losowej X. Obliczyć wartość oczekiwaną, medianę i modę.
-------------
Jak ja to zrobiłem:
Najpierw szukam parametru c:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{3} cx^2 dx = \frac{1}{3} cx^3 \left|_{0}^{3} = \frac{1}{3} c 3^3 = 9c}\)
\(\displaystyle{ 9c = 1}\) ; \(\displaystyle{ c = \frac{1}{9}}\)
Wartość oczekiwana:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{3} x(\frac{1}{9} x^2) dx = \frac{1}{9} * \frac{1}{4} x^4 \left|_{0}^{3} = \frac{81}{36} = 2,25}\)
Dystrybuantę dla przedziału \(\displaystyle{ 0 \le x \le 3}\) wyliczyłem:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{x} \frac{1}{9} t^2 dx = \frac{1}{9} * \frac{1}{3} x^3 = \frac{1}{27} x^3}\)
I teraz liczyłem medianę ze wzoru: \(\displaystyle{ F( x_{0}) = 0,5}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{27} x^3 = \frac{1}{2}}\) i to wyszło: \(\displaystyle{ \frac{3 \sqrt{2} }{2}}\)
Modę nie wiem jak wyznaczyć. Wiem, że to jest to maksimum funcji, ale jak ją wyznaczyć?
P.S. Chciałbym abyście sprawdzili czy dobrze to jest rozwiązane, czy o to chodzi? I wyjaśnili co jest dobrze co jest źle.
P.S.2. Czy znacie może jakąś książkę, stronę www, gdzie można znaleźć dużo takich przykładów rozwiązanych?
Po długim szukaniu wiadomości na ten temat próbuje rozwiązać takie zadanie:
Dla jakiej wartości parametru c funkcja:
\(\displaystyle{ f(x) = \left\{\begin{array}{l} cx^2, 0 \le x \le 3\\0, p.p \end{array}}\)
jest gęstością prawdopodobieństwa pewnej zmiennej losowej X. Obliczyć wartość oczekiwaną, medianę i modę.
-------------
Jak ja to zrobiłem:
Najpierw szukam parametru c:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{3} cx^2 dx = \frac{1}{3} cx^3 \left|_{0}^{3} = \frac{1}{3} c 3^3 = 9c}\)
\(\displaystyle{ 9c = 1}\) ; \(\displaystyle{ c = \frac{1}{9}}\)
Wartość oczekiwana:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{3} x(\frac{1}{9} x^2) dx = \frac{1}{9} * \frac{1}{4} x^4 \left|_{0}^{3} = \frac{81}{36} = 2,25}\)
Dystrybuantę dla przedziału \(\displaystyle{ 0 \le x \le 3}\) wyliczyłem:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{x} \frac{1}{9} t^2 dx = \frac{1}{9} * \frac{1}{3} x^3 = \frac{1}{27} x^3}\)
I teraz liczyłem medianę ze wzoru: \(\displaystyle{ F( x_{0}) = 0,5}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{27} x^3 = \frac{1}{2}}\) i to wyszło: \(\displaystyle{ \frac{3 \sqrt{2} }{2}}\)
Modę nie wiem jak wyznaczyć. Wiem, że to jest to maksimum funcji, ale jak ją wyznaczyć?
P.S. Chciałbym abyście sprawdzili czy dobrze to jest rozwiązane, czy o to chodzi? I wyjaśnili co jest dobrze co jest źle.
P.S.2. Czy znacie może jakąś książkę, stronę www, gdzie można znaleźć dużo takich przykładów rozwiązanych?
Ostatnio zmieniony 14 gru 2010, o 18:00 przez mikajlo, łącznie zmieniany 1 raz.
- scyth
- Użytkownik
- Posty: 6392
- Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 1087 razy
Oblicz wartość oczekiwaną i modę | Zm. l. ciągła
W całce z dystrybuantą wkradł się "x", ale wszystkie obliczenia OK.
Moda to maksimum gęstości - czyli liczysz pochodną, patrzysz, gdzie się zeruje itd.
Moda to maksimum gęstości - czyli liczysz pochodną, patrzysz, gdzie się zeruje itd.
-
- Użytkownik
- Posty: 12
- Rejestracja: 14 gru 2010, o 15:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
Oblicz wartość oczekiwaną i modę | Zm. l. ciągła
Ten x to z rozpędu, przy kopiowaniu.
Wracając jeszcze do mody,
czyli z wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{1}{27} x^3}\) należy obliczyć pochodną i przyrównać do zera?
W tym przypadku chyba nie ma mody?
Wracając jeszcze do mody,
czyli z wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{1}{27} x^3}\) należy obliczyć pochodną i przyrównać do zera?
W tym przypadku chyba nie ma mody?
-
- Użytkownik
- Posty: 12
- Rejestracja: 14 gru 2010, o 15:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
Oblicz wartość oczekiwaną i modę | Zm. l. ciągła
A mógłbyś dla przykładu pokazać wyliczenie tej mody?
- scyth
- Użytkownik
- Posty: 6392
- Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 1087 razy
Oblicz wartość oczekiwaną i modę | Zm. l. ciągła
Skoro funkcja gęstości nie ma ekstremów w tym przedziale (jest rosnąca, więc nie ma), logicznym jest, że największa jej wartość jest na końcu przedziału, czyli dla \(\displaystyle{ x=3}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 12
- Rejestracja: 14 gru 2010, o 15:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
Oblicz wartość oczekiwaną i modę | Zm. l. ciągła
Bo znalazłem książkowe rozwiązanie takiego przykładu:
\(\displaystyle{ f(x) = \left\{\begin{array}{l} \frac{1}{2}x , 0 \le x \le 2\\0, p.p \end{array}}\)
I jest napisane: Jak widać funkcja f nie osiąga maksimum lokalnego w żadnym punkcie przedziału <0,2>, a wiec rozkład ten nie ma mody.
Bardzo podobny przykład do tego liczonego.
\(\displaystyle{ f(x) = \left\{\begin{array}{l} \frac{1}{2}x , 0 \le x \le 2\\0, p.p \end{array}}\)
I jest napisane: Jak widać funkcja f nie osiąga maksimum lokalnego w żadnym punkcie przedziału <0,2>, a wiec rozkład ten nie ma mody.
Bardzo podobny przykład do tego liczonego.
- scyth
- Użytkownik
- Posty: 6392
- Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 1087 razy
Oblicz wartość oczekiwaną i modę | Zm. l. ciągła
Coś pieprzą, bo jak nie osiąga jak osiąga? przedział domknięty, brzegi też się liczą - jeśli funkcja nie jest stała, to gdzieś musi być maksimum lokalne. Jak nie w środku, to na krańcach przedziału.
-
- Użytkownik
- Posty: 12
- Rejestracja: 14 gru 2010, o 15:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
Oblicz wartość oczekiwaną i modę | Zm. l. ciągła
Ok, rozumiem.
Patrze następne zadanie i mam coś podobnego:
Niech zmienna losowa ma dystrybuantę:
\(\displaystyle{ f(x) = \left\{\begin{array}{l} 1 - e \frac{-x^2}{2 \partial^2} , x > 0,\\0, x \le 0 \end{array}}\)
Znaleźć gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej X. Obliczyć modę i medianę.
Niby trzeba zrobić to podobnie jak poprzednie zadanie, ale nie wiem jak do tego się zabrać. Poza tym co zrobić z \(\displaystyle{ \partial}\) ? W całkach też nie jestem dobry
Patrze następne zadanie i mam coś podobnego:
Niech zmienna losowa ma dystrybuantę:
\(\displaystyle{ f(x) = \left\{\begin{array}{l} 1 - e \frac{-x^2}{2 \partial^2} , x > 0,\\0, x \le 0 \end{array}}\)
Znaleźć gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej X. Obliczyć modę i medianę.
Niby trzeba zrobić to podobnie jak poprzednie zadanie, ale nie wiem jak do tego się zabrać. Poza tym co zrobić z \(\displaystyle{ \partial}\) ? W całkach też nie jestem dobry
-
- Użytkownik
- Posty: 12
- Rejestracja: 14 gru 2010, o 15:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
Oblicz wartość oczekiwaną i modę | Zm. l. ciągła
Aa dzięki za naprowadzenie, ale chyba odpuszczę sobie ten przykład.