Oblicz wartość oczekiwaną i modę | Zm. l. ciągła

mikajlo · Post autor: **mikajlo** » 14 gru 2010, o 16:05

Uczę się tych zadań sam w domu i nie mam praktycznie dobrego przykładu rozwiązywania tych zadań.
Po długim szukaniu wiadomości na ten temat próbuje rozwiązać takie zadanie:

Dla jakiej wartości parametru c funkcja:

\(\displaystyle{ f(x) = \left\{\begin{array}{l} cx^2, 0 \le x \le 3\\0, p.p \end{array}}\)

jest gęstością prawdopodobieństwa pewnej zmiennej losowej X. Obliczyć wartość oczekiwaną, medianę i modę.

-------------
Jak ja to zrobiłem:

Najpierw szukam parametru c:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{3} cx^2 dx = \frac{1}{3} cx^3 \left|_{0}^{3} = \frac{1}{3} c 3^3 = 9c}\)

\(\displaystyle{ 9c = 1}\) ; \(\displaystyle{ c = \frac{1}{9}}\)

Wartość oczekiwana:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{3} x(\frac{1}{9} x^2) dx = \frac{1}{9} * \frac{1}{4} x^4 \left|_{0}^{3} = \frac{81}{36} = 2,25}\)

Dystrybuantę dla przedziału \(\displaystyle{ 0 \le x \le 3}\) wyliczyłem:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{x} \frac{1}{9} t^2 dx = \frac{1}{9} * \frac{1}{3} x^3 = \frac{1}{27} x^3}\)

I teraz liczyłem medianę ze wzoru: \(\displaystyle{ F( x_{0}) = 0,5}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{27} x^3 = \frac{1}{2}}\) i to wyszło: \(\displaystyle{ \frac{3 \sqrt{2} }{2}}\)

Modę nie wiem jak wyznaczyć. Wiem, że to jest to maksimum funcji, ale jak ją wyznaczyć?

P.S. Chciałbym abyście sprawdzili czy dobrze to jest rozwiązane, czy o to chodzi? I wyjaśnili co jest dobrze co jest źle.
P.S.2. Czy znacie może jakąś książkę, stronę www, gdzie można znaleźć dużo takich przykładów rozwiązanych?

scyth · Post autor: **scyth** » 14 gru 2010, o 17:28

W całce z dystrybuantą wkradł się "x", ale wszystkie obliczenia OK.
Moda to maksimum gęstości - czyli liczysz pochodną, patrzysz, gdzie się zeruje itd.

mikajlo · Post autor: **mikajlo** » 14 gru 2010, o 18:03

Ten x to z rozpędu, przy kopiowaniu.

Wracając jeszcze do mody,

czyli z wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{1}{27} x^3}\) należy obliczyć pochodną i przyrównać do zera?

W tym przypadku chyba nie ma mody?

scyth · Post autor: **scyth** » 14 gru 2010, o 21:30

Musi być moda. Pamiętaj, że ekstremum funkcji ograniczonej może być na brzegu obszaru.

mikajlo · Post autor: **mikajlo** » 14 gru 2010, o 22:22

A mógłbyś dla przykładu pokazać wyliczenie tej mody?

scyth · Post autor: **scyth** » 14 gru 2010, o 22:26

Skoro funkcja gęstości nie ma ekstremów w tym przedziale (jest rosnąca, więc nie ma), logicznym jest, że największa jej wartość jest na końcu przedziału, czyli dla \(\displaystyle{ x=3}\).

mikajlo · Post autor: **mikajlo** » 15 gru 2010, o 12:46

Bo znalazłem książkowe rozwiązanie takiego przykładu:

\(\displaystyle{ f(x) = \left\{\begin{array}{l} \frac{1}{2}x , 0 \le x \le 2\\0, p.p \end{array}}\)

I jest napisane: Jak widać funkcja f nie osiąga maksimum lokalnego w żadnym punkcie przedziału <0,2>, a wiec rozkład ten nie ma mody.

Bardzo podobny przykład do tego liczonego.

scyth · Post autor: **scyth** » 15 gru 2010, o 13:25

Coś pieprzą, bo jak nie osiąga jak osiąga? przedział domknięty, brzegi też się liczą - jeśli funkcja nie jest stała, to gdzieś musi być maksimum lokalne. Jak nie w środku, to na krańcach przedziału.

mikajlo · Post autor: **mikajlo** » 15 gru 2010, o 14:31

Ok, rozumiem.

Patrze następne zadanie i mam coś podobnego:

Niech zmienna losowa ma dystrybuantę:

\(\displaystyle{ f(x) = \left\{\begin{array}{l} 1 - e \frac{-x^2}{2 \partial^2} , x > 0,\\0, x \le 0 \end{array}}\)

Znaleźć gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej X. Obliczyć modę i medianę.

Niby trzeba zrobić to podobnie jak poprzednie zadanie, ale nie wiem jak do tego się zabrać. Poza tym co zrobić z \(\displaystyle{ \partial}\) ? W całkach też nie jestem dobry

scyth · Post autor: **scyth** » 15 gru 2010, o 14:47

Jeśli to dystrybuanta, to \(\displaystyle{ F(x)}\). Żeby obliczyć gęstość liczysz pochodną, nie całkę.

mikajlo · Post autor: **mikajlo** » 15 gru 2010, o 17:20

Aa dzięki za naprowadzenie, ale chyba odpuszczę sobie ten przykład.