dowód 2^n-2 = ...

[adamslack]

Witam, to jest mój pierwszy post, więc proszę mnie nie bić za ewentualne błędy

Proszę o pomoc w dowiedzeniu, że
\(\displaystyle{ {n \choose 1} + {n \choose 2} + \cdots + {n \choose n-1} = 2^n - 2}\)
nie róbcie za mnie tego, tylko wskażcie jak zacząć
pozdrawiam

[Afish]

Zerknij na twierdzenie o dwumianie Newtona. Na wikipedii jest to ładnie rozpisane.

[adamslack]

witam raz jeszcze, o to moje wypociny jak doszedłem do tego:

\(\displaystyle{ {n \choose 1} + {n \choose 2} + \cdots + {n \choose n-1} = 2^{n}-2}\),
dodaję 2 do obu stron...
\(\displaystyle{ 2^n-2+2=1+ {n \choose 1} + {n \choose 2} + \cdots + {n \choose n-1} + 1}\),
\(\displaystyle{ 2^n= {n \choose 0} + {n \choose 1} + {n \choose 2} + \cdots + {n \choose n-1} + {n \choose n}}\),
\(\displaystyle{ 2^n= \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}}\),
ze wzoru Newtona...
\(\displaystyle{ (a+b)^n=a^n + {n \choose 1} a^{n-1}b + \cdots + {n \choose n-1}ab^{n-1} + b^n = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} a^{n-k}b^k}\),
niech a = b = 1 otrzymujemy
\(\displaystyle{ (1+1)^n=2^n = 1^n + {n \choose 1}1^{n-1}1 + \cdots + {n \choose n-1}1 \cdot 1^{n-1} + 1^n = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} 1^{n-k}1^k}\),
\(\displaystyle{ 2^n=1+ {n \choose 1} + \cdots + {n \choose n-1} + 1 = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}}\).
jeśli gdzieś moje rozumowanie jest niepoprawne, proszę o wskazanie mi miejsca, pozdrawiam