parametry rozkładów

[aguś]

Prosze o pomoc w tych zadaniach. Cenne będą dla mnie najmniejsze wskazówki.

1. Zmienna X ma rozkład jednostajny na odcinku [0,1]. Znaleźć dystrybuantę tej zmiennej, policzyć
EX, D�X. Policzyć prawdopodobieństwa zdarzeń: P(0,2 < X < 0,7) , P(| X - 0,5 | ≥ 0,1) .
2. Czas działania żarówki choinkowej (liczony w godzinach) jest zmienną losową T o rozkładzie
wykładniczym z parametrem a = 0,01. Policzyć prawdopodobieństwa zdarzeń: A - żarówka przepali
się po niecałej dobie świecenia; B - łączny czas działania żarówki przekroczy tydzień;
3. Komplet świąteczny zawiera 12 żarówek połączonych szeregowo i działających niezależnie od siebie zgodnie z mechanizmem losowym opisanym w poprzednim zadaniu. Policzyć
prawdopodobieństwo, że komplet włączony na stałe w przeddzień Wigilii o 16:00 przepracuje
bezawaryjnie do nowego roku.
4. Zmienna Y ma rozkład normalny o średniej m i wariancji s 2 , w skrócie Y ~ N(m,s 2).
Przypomnieć wzór na gęstość tej zmiennej. Dokonać standaryzacji zmiennej Y, otrzymując zmienną
Z ~ N(0,1). Następnie korzystając z tablicy dystrybuanty F(x) standardowego rozkładu N(0,1) i
wiedząc że zachodzi F(-x) = 1-F(x) , policzyć następujące prawdopodobieństwa :
a) P(| Y |< 6,645) , jeśli Y ~ N(5,1); b) P(-4,939 < X L 5,845) , X ~ N(2,9).
Wyznaczyć kwantyle rozkładu N(0,1) rzędu a = 0,01; 0,025; 0,95; 0,995.
Będę wdzięczna za pomoc to dla mnie naprawdę ważne bo za tydzień mam zaliczenie.

[mm34639]

1.
f(x)=1 dla \(\displaystyle{ x }\), 0 wpp
więc dystrybuanta F(x) = 0 dla x1

bo\(\displaystyle{ F(x)=\int\limits_{-\infty}^{x} f(t)dt}\)

\(\displaystyle{ EX=\int\limits_{0}^{1}xf(x) dx=\int\limits_{0}^{1}x*1 \: dx=\frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ D^{2}X=E(X^{2})-(EX)^{2}}\)
a
\(\displaystyle{ E(X^{2})=\int\limits_{0}^{1}x^{2}f(x) dx=\frac{1}{3}}\)
więc
\(\displaystyle{ D^{2}X=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}}\)

P(0,2 < X < 0,7)=F(0,7)-F(0,2)=0,7-0,2=0,5

P(| X - 0,5 | ≥ 0,1=P((x-0,5)≥0,1)+P((x-0,5)≤-0,1)=P(X≥0,6)+P(x≤0,4)=0,8

[aguś]

Czy to na pewno będzie tak z tym prawdopodobieństwem
P(0,2 < X < 0,7)=F(0,7)-F(0,2)=0,7-0,2=0,5

P(| X - 0,5 | ≥ 0,1=P((x-0,5)≥0,1)+P((x-0,5)≤-0,1)=P(X≥0,6)+P(x≤0,4)=0,8

nie trzeba tego rozbić na P(X=0,3) + P(X=0,4) + P(X=0,5) + P(X=0,6) ?

[mm34639]

raczej nie
to rozkład ciągły i dlatego np. P(X=0,3)=0


masz jeszcze

4.

Y~N(m, s�)

f. gęstości:
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi }}e^{\frac{-(x-m)^{2}}{2 \sigma^{2}}}\)
\(\displaystyle{ Z=\frac{X-m}{\sigma}\:}\) ~ \(\displaystyle{ N(0, 1)}\)
funkcja gęstości standardowego rozkładu normalnego to
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^{2}}{2}}}\)

jeżeli Y~N(5,1) to
P(|Y|

[aguś]

Bardzo jestem wdzięczna za pomoc.

Drugie też wygląda pozornie prosto, ale ja naet nie wiem jak z nim ruszyć.
Mam wzory z wykładów ale nie bardzo wiem jak je zastosować.

[mm34639]

to drugie nie jestem pewien czy umiem, ale spróbuję...
(robię takie coś pierwszy raz posługując się wikipedią i innymi internetowymi źródłami, więc może coś być nie tak)
... %82adniczy
(tylko że oni tu chyba zamiast λ używają 1/λ, u Ciebie pewnie chodzi o funkcję postaci takiej jak na tej stronie:

Kod: Zaznacz cały

http://www.au.poznan.pl/~bonie/w15/index.htm

)


po pierwsze -
\(\displaystyle{ f(x)=\lambda e^{-\lambda x}}\)
a dystrybuanta \(\displaystyle{ F(x)=1-e^{-\lambda x}}\)
\(\displaystyle{ EX=\frac{1}{\lambda}}\) ,
u nas \(\displaystyle{ \lambda = 0,01}\) więc \(\displaystyle{ EX=\frac{1}{\lambda}=100}\), czyli wychodziłoby że wartość oczekiwana świecenia żarówki wynosi 100h, co brzmi rozsądnie, czyli może mam rację

na wikipedii napisali, ze w rozkładzie chodzi o to że żarówka może być w stanie X i w każdej chwili przejść w stan Y
u nas stan X to pewnie "żarówka działa" , a stan Y "żarówka się zepsuła"
napisali tam jeszcze, że dystrybuanta to prawdopodobieństwo że obiekt jest w stanie Y (zepsuty), i o policzenie tego chyba chodzi w naszym zadaniu

więc prawdopodobieństwo, że żarówka przepali się przez pierwsze 24h to po prostu
\(\displaystyle{ F(24)=1-e^{-\frac{24}{100}} 1-0,7866=0,2134}\) - wynik wygląda rozsądnie

podpunkt b)
można zrobić tak samo, podstawiając 7*24=168 zamiast 24
wtedy otrzymamy
\(\displaystyle{ F(168)=1-e^{-1,68} 1- 0,1863=0,8137}\) - prawdopodobieństwo że się zepsuje po tygodniu
czyli prawdopodobieństwo że się przez ten tydzień nie zepsuje to 1-0,8137=0,1863

a w zadaniu trzecim korzystając z tego że przy niezależnych zdarzeniach
\(\displaystyle{ P(A \cap B)=P(A)*P(B)}\)
policzymy tak, że prawdopodobieństwo że jedna żarówka się nie zepsuje, i druga, i trzecia, i... = prawdopodobieństwo że jedna się nie zepsuje * prawdopodobieństwo ze druga nie zepsuje sięi tak dalej (naukę fizyki zakończyłem kilka lat temu, ale chyba chodzi tu o to że żeby komplet działał to wszyskie żarówki muszą jednocześnie działać)

od 16:00 do nowego roku zgodnie z tym co sobie na palcach policzyłem jest 8dni i 8h czyli 200h

prawdopodobieństwo że jedna żarówka się zepsuje to
\(\displaystyle{ F(200)=1-e^{-2} 1-0,1353=0,8647}\) a że się nie zepsuje \(\displaystyle{ 0,1353}\)

a prawdopodobieństwo że żadna się nie zepsuje to \(\displaystyle{ 0,1353 * 0,1353 * ... = 0,1353^{12} 0}\)

czyli jak widać kiepske te lampki

pozdrawiam i życzę powodzenia