Mam takie trzy zadania i dwa pierwsze rozwiązałem, ale nie jestem pewny wyników, zaś trzecie za bardzo nie wiem jak ugryźć. Z góry przepraszam, jeśli rozwiązanie będzie bezsensowne, ale jestem początkujący, jeśli pochodzi o probablistykę.
Zad1.
Długość [w mm] pewnej części produkowanej na automacie jest zmienną losową o rozkładzie \(\displaystyle{ N(20,1/5)}\) . Obliczyć prawdopodobieństwo, że długość tej części zawarta będzie między \(\displaystyle{ 19,9 mm}\) i \(\displaystyle{ 20,3 mm}\).
\(\displaystyle{ P(a \le X \le b)=P(\frac{a-\mu}{\sigma} \le \frac{X-\mu}{\sigma} \le \frac{b-\mu}{\sigma})=}\)
\(\displaystyle{ =P(\frac{a-\mu}{\sigma} \le U \le \frac{b-\mu}{\sigma})=\Phi(\frac{b-\mu}{\sigma})-\Phi(\frac{a-\mu}{\sigma})}\)
\(\displaystyle{ P(19,9 \le X \le 20,3)=P(\frac{19,9-20}{0,2} \le\frac{X-\mu}{\sigma} \le \frac{20,3-20}{0,2})=}\)
\(\displaystyle{ =(-0,5 \le U \le 1,5)=\Phi(1,5)-\Phi(-0,5)=\Phi(1,5)-(1-\Phi(0,5))=}\)
\(\displaystyle{ =0,93319-(1-0,6915)=0,6247=62,47\%}\)
Nie jestem pewien tego wyniku, bo jakieś małe to prawdopodobieństwo. Co to za automat, który tak mało produkuje części udanych. Jest gdzieś jakiś błąd?
Zad2.
Wiadomo, że przy obróbce części na pewnym automacie odchylenie standardowe od wymiaru nominalnego wynosi \(\displaystyle{ \sigma = 0,01mm}\). Pole tolerancji jest równe \(\displaystyle{ 0,06mm}\) (zinterpretować graficznie pole tolerancji). Na skutek trudności w uzyskaniu nominalnego wymiaru nastawczego wartość przeciętna odchyłki jest o \(\displaystyle{ 0,015mm}\) przesunięta od środka pola tolerancji w prawo. Obliczyć przewidywany % części wykonanych wadliwie, tj. prawdopodobieństwo, że \(\displaystyle{ |X|>3⋅σ}\), czyli \(\displaystyle{ |X|>0,03}\).
Tutaj za bardzo nie wiedziałem, o co chodzi z tą odchyłką, ale znalazłem w internecie trochę informacji o zdolności jakościowej procesów. To będzie też rozkład normalny?
- AU
- KQLpG.jpg (10.2 KiB) Przejrzano 146 razy
\(\displaystyle{ P(X>0,03)=P(U>\frac{0,03-0,015}{0,01})=P(U>1,5)=1-\Phi(1,5)=1-0,9332=0,0668=6,68\%}\)
Co tutaj będzie do poprawy?
Zad.3
Zadanie 7.6.Czas [w h] dojazdu pracowników do zakładu pracy jest zmienną losową o rozkładzie logarytmo-normalnym o parametrach: \(\displaystyle{ \mu=0,7}\) i \(\displaystyle{ \sigma=0,5}\). Obliczyć dystrybuantę tej zmiennej losowej. Obliczyć oczekiwany czas dojazdu do pracy oraz prawdopodobieństwo, że czas dojazdu nie przekracza 2h. Obliczyć medianę i wartość modalną oraz podać ich interpretację.
Tutaj zupełnie nie wiem jak to zadanie zrobić.
Wiem tyle, że \(\displaystyle{ lnX\ ma\ N(\mu,\sigma)}\)
Jak się liczy prawdopodobieństwo w rozkładzie log-normalnym? W jakimś skrypcie czytałem, że dla rozkładu normalnego i log-normalnego \(\displaystyle{ P(a \le X \le b)}\) jest równoważne \(\displaystyle{ P(lna \le lnX \le lnb)}\)
EDIT: Okej, prawdopodobieństwo mi wyszło jakieś (49,6%).
Jak obliczyć dystrybuantę?
Jak obliczyć wartość oczekiwaną? Z tego wzoru? \(\displaystyle{ \alpha_{1}=e^{\mu+\frac{\sigma^{2}}{2}}}\)
Medianę i modę z tych wzorów? \(\displaystyle{ x_{0,5}=e^{\mu}}\) i \(\displaystyle{ m_{0}=e^{\mu-\sigma^{2}}}\)-- 11 gru 2010, o 14:26 --Jeśli chodzi o drugie zadanie to czy czasem prawdopodobieństwo nie będzie dwa razy większe niż mi wyszło, bo ma być obustronne, bo jest |X|?
Jeśli chodzi o zadanie trzecie to czy muszę wyliczyć całkę od 0 do x z funkcji gęstości prawdopodobieństwa, żeby wyszła mi dysytrybuanta?
Proszę o odpowiedź.